Номер 1058, страница 205 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 14. Линейные уравнения с двумя перемнными и их системы. Линейное уравнение с двумя переменными - номер 1058, страница 205.

Условие.

1058. Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 5 даёт остаток 1, а при делении на 6 − остаток 2.

Решение 1.

Пусть x неполное частное при делении натурального числа на 5, а y – неполное частное при делении этого же числа на 6. Получим, что натуральное число равно 5x + 1 или 6y + 2. Составим уравнение:

5x + 1 = 6y + 2;
5x - 6y = 2 - 1;
5x - 6y = 1;
5x = 6y + 1;
$\mathrm{x}=\frac{6\mathrm{y}+1}{5};$
$\mathrm{x}=\frac{6\mathrm{y}}{5}+\frac{1}{5}$

y = 1;
$\mathrm{x}=\frac{6·1+1}{5}=\frac{7}{5}\notin \mathrm{N}$

y = 2;
$\mathrm{x}=\frac{6·2+1}{5}=\frac{13}{5}\notin \mathrm{N}$

y = 3;
$\mathrm{x}=\frac{6·3+1}{5}=\frac{19}{5}\notin \mathrm{N}$

y = 4;
$\mathrm{x}=\frac{6·4+1}{5}=\frac{25}{5}=5\in \mathrm{N}$

n = 5x + 1 = 5 ⋅ 5 + 1 = 26;
n = 6y + 2 = 6 ⋅ 4 + 2 = 26

26 – наименьшее натуральное число, так как при увеличении y (неполного частного) увеличивается и само число.

Ответ: 26.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть искомое натуральное число — это $N$. По условию задачи, это число должно одновременно удовлетворять двум требованиям.

1. При делении на 5 число $N$ даёт в остатке 1.
Это значит, что $N$ можно представить в виде $N = 5k + 1$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число (частное). Выпишем последовательно несколько таких чисел, начиная с наименьшего (при $k=0, 1, 2, \ldots$):
$5 \cdot 0 + 1 = 1$
$5 \cdot 1 + 1 = 6$
$5 \cdot 2 + 1 = 11$
$5 \cdot 3 + 1 = 16$
$5 \cdot 4 + 1 = 21$
$5 \cdot 5 + 1 = 26$
$5 \cdot 6 + 1 = 31$
И так далее. Получаем ряд чисел: 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, ...

2. При делении на 6 число $N$ даёт в остатке 2.
Теперь будем проверять по порядку числа из полученного выше ряда, чтобы найти среди них первое, которое удовлетворяет этому второму условию.

- Проверяем число 1: $1$ при делении на $6$ даёт остаток $1$ ($1 = 6 \cdot 0 + 1$). Не подходит.
- Проверяем число 6: $6$ при делении на $6$ даёт остаток $0$ ($6 = 6 \cdot 1 + 0$). Не подходит.
- Проверяем число 11: $11$ при делении на $6$ даёт остаток $5$ ($11 = 6 \cdot 1 + 5$). Не подходит.
- Проверяем число 16: $16$ при делении на $6$ даёт остаток $4$ ($16 = 6 \cdot 2 + 4$). Не подходит.
- Проверяем число 21: $21$ при делении на $6$ даёт остаток $3$ ($21 = 6 \cdot 3 + 3$). Не подходит.
- Проверяем число 26: $26$ при делении на $6$ даёт остаток $2$ ($26 = 6 \cdot 4 + 2$). Подходит!

Поскольку мы перебирали числа в порядке возрастания, первое найденное число, удовлетворяющее обоим условиям, и является наименьшим.

Ответ: 26