Номер 1057, страница 205 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 14. Линейные уравнения с двумя перемнными и их системы. Линейное уравнение с двумя переменными - номер 1057, страница 205.

Условие.

1057. В результате перестановки цифр двузначного числа оно увеличилось на 54. Найдите это число.

Решение 1.

Пусть x – цифра десятков, а y – цифра единиц двузначного числа, тогда $\overline{xy}=10x+y$ – двузначное число. В результате перестановки цифр двузначного числа получим $\overline{yx}=10y+x$ – двузначное число, которое на 54 больше исходного. Составим уравнение: $\overline{\mathrm{yx}}-\overline{\mathrm{xy}}=54$

10y + x - (10x + y) = 54;
10y + x - 10x - y = 54;
9y - 9x = 54;
y - x = 6;
y = 6 + x

x = 1; y = 7

x = 2; y = 8

x = 3; y = 9

x = 4; y = 10 – не является цифрой.

Ответ: 17; 28; 39.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть искомое двузначное число состоит из цифры десятков $a$ и цифры единиц $b$. Тогда его значение можно представить в виде $10a + b$. Важно отметить, что $a$ может быть любой цифрой от 1 до 9, а $b$ — любой цифрой от 0 до 9.

После перестановки цифр мы получаем новое число, у которого $b$ становится цифрой десятков, а $a$ — цифрой единиц. Значение этого нового числа равно $10b + a$.

Согласно условию задачи, новое число на 54 больше исходного. Мы можем записать это в виде уравнения:

$(10b + a) = (10a + b) + 54$

Теперь решим это уравнение. Перенесем все переменные в левую часть:

$10b + a - 10a - b = 54$

Приведем подобные слагаемые:

$9b - 9a = 54$

Разделим обе части уравнения на 9, чтобы его упростить:

$b - a = 6$

Это уравнение показывает, что цифра единиц $b$ на 6 больше цифры десятков $a$. Теперь нам нужно найти все пары цифр $(a, b)$, которые удовлетворяют этому условию.

Рассмотрим возможные значения для $a$ (от 1 до 9):

1. Если $a = 1$, то $b = 1 + 6 = 7$. Получаем число 17. Проверим: новое число — 71. Разница: $71 - 17 = 54$. Это решение подходит.

2. Если $a = 2$, то $b = 2 + 6 = 8$. Получаем число 28. Проверим: новое число — 82. Разница: $82 - 28 = 54$. Это решение также подходит.

3. Если $a = 3$, то $b = 3 + 6 = 9$. Получаем число 39. Проверим: новое число — 93. Разница: $93 - 39 = 54$. И это решение подходит.

Если мы попробуем взять $a = 4$, то $b = 4 + 6 = 10$. Так как 10 не является цифрой, это и все последующие значения для $a$ не дадут верных решений.

Таким образом, мы нашли три числа, которые удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 17, 28, 39.