Страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1224. Разложите на множители многочлен:
а) х⁸ + х⁴ − 2; б) а⁵ − а² − а − 1; в) n⁴ + 4; г) n⁴ + n² + 1.

a) Для разложения многочлена $x^8 + x^4 - 2$ введём замену переменной. Пусть $y = x^4$. Тогда исходный многочлен можно переписать в виде квадратного трёхчлена относительно $y$:

$y^2 + y - 2$

Разложим этот квадратный трёхчлен на множители. Найдём корни уравнения $y^2 + y - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-2$. Отсюда корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$. Следовательно, трёхчлен раскладывается на множители:

$y^2 + y - 2 = (y - 1)(y + 2)$

Теперь выполним обратную замену, подставив $y = x^4$:

$(x^4 - 1)(x^4 + 2)$

Множитель $(x^4 - 1)$ является разностью квадратов и может быть разложен дальше: $x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)$. В свою очередь, множитель $(x^2 - 1)$ также является разностью квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Таким образом, окончательное разложение на множители с действительными коэффициентами имеет вид:

$(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 2)$

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 2)$.

б) Для разложения многочлена $a^5 - a^2 - a - 1$ применим метод группировки слагаемых. Перегруппируем члены многочлена следующим образом:

$a^5 - a^2 - a - 1 = (a^5 - a) - (a^2 + 1)$

В первой группе вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a(a^4 - 1) - (a^2 + 1)$

Выражение $a^4 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить как $a^4 - 1 = (a^2 - 1)(a^2 + 1)$. Подставим это в наше выражение:

$a(a^2 - 1)(a^2 + 1) - (a^2 + 1)$

Теперь можно вынести за скобки общий множитель $(a^2 + 1)$:

$(a^2 + 1)[a(a^2 - 1) - 1]$

Раскроем скобки и упростим выражение во втором множителе:

$(a^2 + 1)(a^3 - a - 1)$

Многочлен $a^3 - a - 1$ не имеет рациональных корней, поэтому данное разложение является окончательным в поле рациональных чисел.

Ответ: $(a^2 + 1)(a^3 - a - 1)$.

в) Для разложения многочлена $n^4 + 4$ воспользуемся методом выделения полного квадрата. Чтобы выражение $n^4 + 4$ стало частью полного квадрата, добавим и вычтем слагаемое $4n^2$:

$n^4 + 4 = n^4 + 4n^2 + 4 - 4n^2$

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат $(n^2 + 2)^2$. Тогда выражение примет вид разности квадратов:

$(n^4 + 4n^2 + 4) - 4n^2 = (n^2 + 2)^2 - (2n)^2$

Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = n^2 + 2$ и $B = 2n$:

$(n^2 + 2 - 2n)(n^2 + 2 + 2n)$

Упорядочим слагаемые в каждом множителе для стандартного вида:

$(n^2 - 2n + 2)(n^2 + 2n + 2)$

Полученные квадратные трёхчлены не имеют действительных корней и не могут быть разложены дальше на множители с действительными коэффициентами. Данное разложение является примером тождества Софи Жермен.

Ответ: $(n^2 - 2n + 2)(n^2 + 2n + 2)$.

г) Разложим на множители многочлен $n^4 + n^2 + 1$, используя метод выделения полного квадрата. Чтобы получить полный квадрат, нам необходимо иметь слагаемое $2n^2$. Представим $n^2$ как $2n^2 - n^2$:

$n^4 + n^2 + 1 = n^4 + 2n^2 + 1 - n^2$

Сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют полный квадрат $(n^2 + 1)^2$. Выражение превращается в разность квадратов:

$(n^4 + 2n^2 + 1) - n^2 = (n^2 + 1)^2 - n^2$

Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = n^2 + 1$ и $B = n$:

$(n^2 + 1 - n)(n^2 + 1 + n)$

Запишем слагаемые в стандартном порядке:

$(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)$

Полученные квадратные трёхчлены не имеют действительных корней и не раскладываются дальше.

Ответ: $(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)$.

1225. Докажите, что р² − 1 кратно 24, если р − простое число, большее 3.

Чтобы доказать, что выражение $p^2 - 1$ кратно 24, необходимо показать, что оно делится на 3 и на 8, так как $24 = 3 \times 8$, а числа 3 и 8 являются взаимно простыми.

Разложим выражение $p^2 - 1$ на множители, используя формулу разности квадратов:

$p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)$

Теперь докажем делимость произведения $(p - 1)(p + 1)$ на 3 и на 8 по отдельности.

Доказательство делимости на 3.
Числа $(p - 1)$, $p$ и $(p + 1)$ — это три последовательных целых числа. Среди любых трех последовательных целых чисел одно обязательно делится на 3. По условию, $p$ — простое число и $p > 3$. Это означает, что само $p$ не может делиться на 3 (единственное простое число, которое делится на 3, — это само число 3). Следовательно, на 3 должно делиться либо число $(p - 1)$, либо число $(p + 1)$. В любом случае, их произведение $(p - 1)(p + 1)$ будет кратно 3.

Доказательство делимости на 8.
Поскольку $p$ — простое число, большее 3, оно должно быть нечетным (единственное четное простое число — это 2). Если $p$ — нечетное число, то $(p - 1)$ и $(p + 1)$ — это два последовательных четных числа. Рассмотрим их произведение. Пусть $p = 2k+1$ для некоторого целого числа $k \ge 2$ (так как $p>3$). Тогда:

$(p - 1)(p + 1) = ((2k+1) - 1)((2k+1) + 1) = (2k)(2k + 2) = 4k(k+1)$

Выражение $k(k+1)$ представляет собой произведение двух последовательных целых чисел. Одно из этих чисел обязательно является четным, поэтому их произведение $k(k+1)$ всегда делится на 2. Таким образом, все выражение $4k(k+1)$ делится на $4 \times 2 = 8$.

Заключение.
Мы установили, что выражение $p^2 - 1$ делится и на 3, и на 8. Так как числа 3 и 8 взаимно просты (их наибольший общий делитель равен 1), то $p^2 - 1$ должно делиться на их произведение $3 \times 8 = 24$.

Ответ: Утверждение доказано.

1226. Докажите, что разность между кубами двух последовательных натуральных чисел при делении на 6 даёт остаток 1.

Пусть даны два последовательных натуральных числа: $n$ и $n+1$, где $n \in \mathbb{N}$.

Нам нужно доказать, что разность их кубов при делении на 6 даёт остаток 1. Запишем эту разность и преобразуем её, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$(n+1)^3 - n^3 = (n^3 + 3n^2 \cdot 1 + 3n \cdot 1^2 + 1^3) - n^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1$.

Теперь нам нужно доказать, что выражение $3n^2 + 3n + 1$ при делении на 6 даёт в остатке 1. Это эквивалентно тому, что выражение $(3n^2 + 3n + 1) - 1 = 3n^2 + 3n$ делится на 6 нацело.

Вынесем общий множитель за скобки в выражении $3n^2 + 3n$:

$3n^2 + 3n = 3n(n+1)$.

Чтобы доказать, что число $3n(n+1)$ делится на 6, нужно доказать, что оно делится на 2 и на 3, так как числа 2 и 3 являются взаимно простыми.

1. Выражение $3n(n+1)$ содержит множитель 3, следовательно, оно всегда делится на 3 при любом натуральном $n$.

2. Рассмотрим произведение $n(n+1)$. Это произведение двух последовательных натуральных чисел. Среди двух последовательных натуральных чисел одно всегда является чётным. Произведение чётного числа на любое другое натуральное число всегда является чётным, то есть делится на 2. Следовательно, $n(n+1)$ всегда делится на 2.

Поскольку выражение $3n(n+1)$ делится и на 2, и на 3, оно делится и на их произведение, то есть на $2 \cdot 3 = 6$.

Таким образом, мы доказали, что $3n(n+1)$ делится на 6. Это означает, что $3n(n+1)$ можно представить в виде $6k$, где $k$ — некоторое натуральное число (поскольку $n \ge 1$).

Тогда исходная разность кубов равна:

$(n+1)^3 - n^3 = 3n(n+1) + 1 = 6k + 1$.

Это по определению означает, что разность кубов двух последовательных натуральных чисел при делении на 6 даёт остаток 1. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Разность кубов двух последовательных натуральных чисел $n$ и $n+1$ равна $(n+1)^3 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1 = 3n(n+1) + 1$. Произведение $n(n+1)$ является произведением двух последовательных натуральных чисел, поэтому оно всегда чётно (делится на 2). Следовательно, выражение $3n(n+1)$ делится и на 3, и на 2, а значит, делится на 6. Таким образом, разность кубов можно представить в виде $6k+1$, где $k$ — натуральное число. Это означает, что при делении на 6 остаток всегда равен 1.

1227. Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.

Пусть даны пять последовательных натуральных чисел. Обозначим среднее из них через $n$. Тогда эту последовательность можно записать как $n-2$, $n-1$, $n$, $n+1$, $n+2$. Поскольку числа должны быть натуральными, наименьшее из них, $n-2$, должно быть больше или равно 1. Отсюда следует, что $n$ — натуральное число, и $n \ge 3$.

Найдем сумму их квадратов, обозначив ее $S$:

$S = (n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения, и приведем подобные слагаемые:

$S = (n^2 - 4n + 4) + (n^2 - 2n + 1) + n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4)$

$S = (n^2+n^2+n^2+n^2+n^2) + (-4n-2n+2n+4n) + (4+1+1+4)$

$S = 5n^2 + 10$

Теперь нам нужно доказать, что выражение $5n^2 + 10$ не может быть квадратом натурального числа. Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что $S$ является квадратом некоторого натурального числа $k$:

$5n^2 + 10 = k^2$

Вынесем общий множитель 5 за скобки в левой части уравнения:

$5(n^2 + 2) = k^2$

Из этого равенства следует, что левая часть делится на 5, а значит, и правая часть, $k^2$, должна делиться на 5. Поскольку 5 — простое число, если $k^2$ делится на 5, то и само число $k$ должно делиться на 5. Следовательно, $k$ можно представить в виде $k = 5m$, где $m$ — некоторое натуральное число.

Подставим $k = 5m$ обратно в уравнение:

$5(n^2 + 2) = (5m)^2$

$5(n^2 + 2) = 25m^2$

Разделив обе части уравнения на 5, получим:

$n^2 + 2 = 5m^2$

Рассмотрим это уравнение по модулю 5. Правая часть, $5m^2$, очевидно, делится на 5 нацело, поэтому ее остаток от деления на 5 равен 0.

$n^2 + 2 \equiv 0 \pmod{5}$

Это сравнение можно переписать в виде:

$n^2 \equiv -2 \pmod{5}$

Поскольку $-2 \equiv 3 \pmod{5}$, получаем:

$n^2 \equiv 3 \pmod{5}$

Теперь проверим, какие остатки может давать квадрат натурального числа при делении на 5. Любое натуральное число $n$ при делении на 5 может давать в остатке 0, 1, 2, 3 или 4. Возведем эти остатки в квадрат:

Если $n \equiv 0 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{5}$.
Если $n \equiv 1 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{5}$.
Если $n \equiv 2 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 2^2 = 4 \pmod{5}$.
Если $n \equiv 3 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 3^2 = 9 \equiv 4 \pmod{5}$.
Если $n \equiv 4 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 4^2 = 16 \equiv 1 \pmod{5}$.

Таким образом, квадрат любого натурального числа при делении на 5 может давать в остатке только 0, 1 или 4. Остаток 3 невозможен.

Мы пришли к противоречию, так как из нашего предположения следует, что $n^2$ должно давать остаток 3 при делении на 5, что невозможно. Следовательно, исходное предположение было неверным.

Ответ: Утверждение доказано: сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.

1228. Докажите, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.

Пусть $n$ — натуральное число, которое не кратно 3. Требуется доказать, что разность $n^2 - 1$ кратна 3.

Воспользуемся формулой разности квадратов, чтобы преобразовать данное выражение:

$n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)$

Таким образом, нам нужно доказать, что произведение $(n - 1)(n + 1)$ делится на 3.

Рассмотрим три последовательных натуральных числа: $n - 1$, $n$, $n + 1$. Среди любых трех последовательных натуральных чисел одно обязательно делится на 3.

По условию задачи, число $n$ не делится на 3. Это означает, что при делении на 3 оно дает остаток 1 или 2.

Рассмотрим оба возможных случая:

1. Если $n$ при делении на 3 дает остаток 1.
Тогда число $n - 1$ будет делиться на 3 без остатка. Например, если $n=4$, то $n-1=3$. Если $n=7$, то $n-1=6$. В общем виде, если $n = 3k + 1$, то $n - 1 = 3k$. В этом случае множитель $(n-1)$ в произведении $(n - 1)(n + 1)$ кратен 3, а значит, и все произведение кратно 3.

2. Если $n$ при делении на 3 дает остаток 2.
Тогда число $n + 1$ будет делиться на 3 без остатка. Например, если $n=2$, то $n+1=3$. Если $n=5$, то $n+1=6$. В общем виде, если $n = 3k + 2$, то $n + 1 = 3k + 3 = 3(k+1)$. В этом случае множитель $(n+1)$ в произведении $(n - 1)(n + 1)$ кратен 3, а значит, и все произведение кратно 3.

В обоих возможных случаях для числа $n$, не кратного 3, произведение $(n - 1)(n + 1)$ делится на 3. Следовательно, и равная ему разность $n^2 - 1$ кратна 3. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

1229. Упростите выражение

(2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)(2³² + 1).

Для упрощения данного выражения воспользуемся методом, основанным на формуле разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Исходное выражение:

$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)$

Заметим, что если мы умножим это выражение на $(2-1)$, его значение не изменится, так как $(2-1)=1$.

Получим выражение:

$(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)$

Теперь мы можем последовательно применять формулу разности квадратов, начиная с первых двух множителей.

1. Свернем первые два множителя: $(2-1)(2+1) = 2^2 - 1^2 = 2^2-1$.

Выражение примет вид:

$(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)$

2. Снова применим формулу к первым двум множителям полученного выражения: $(2^2-1)(2^2+1) = (2^2)^2 - 1^2 = 2^4-1$.

Выражение примет вид:

$(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)$

3. Продолжая эту последовательность, мы видим, что произведение "сворачивается" шаг за шагом:

$(2^4-1)(2^4+1) = (2^4)^2 - 1^2 = 2^8-1$.

Выражение становится:

$(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)$

4. Следующий шаг: $(2^8-1)(2^8+1) = (2^8)^2 - 1^2 = 2^{16}-1$.

Выражение становится:

$(2^{16}-1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)$

5. Предпоследний шаг: $(2^{16}-1)(2^{16}+1) = (2^{16})^2 - 1^2 = 2^{32}-1$.

Выражение становится:

$(2^{32}-1)(2^{32}+1)$

6. Наконец, применяем формулу в последний раз: $(2^{32}-1)(2^{32}+1) = (2^{32})^2 - 1^2 = 2^{64}-1$.

Таким образом, после всех преобразований мы получили окончательный результат.

Ответ: $2^{64}-1$.

1230. Докажите, что уравнение х² − у² = 30 не имеет целых решений.

Для доказательства того, что уравнение $x^2 - y^2 = 30$ не имеет решений в целых числах ($x, y \in \mathbb{Z}$), можно воспользоваться одним из следующих методов.

Способ 1: Разложение на множители

Применим формулу разности квадратов к левой части уравнения: $(x-y)(x+y) = 30$.

Поскольку по условию $x$ и $y$ — целые числа, то их разность $(x-y)$ и сумма $(x+y)$ также являются целыми числами. Пусть $a = x-y$ и $b = x+y$. Тогда мы ищем два целых числа $a$ и $b$, произведение которых равно 30.

Выразим $x$ и $y$ через $a$ и $b$ из системы уравнений: $ \begin{cases} x - y = a \\ x + y = b \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2x = a+b$, откуда $x = \frac{a+b}{2}$.
Вычтя первое уравнение из второго, получим $2y = b-a$, откуда $y = \frac{b-a}{2}$.

Чтобы $x$ и $y$ были целыми, необходимо, чтобы суммы $a+b$ и $b-a$ были четными. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковую четность (то есть оба являются четными или оба — нечетными).

Теперь проанализируем произведение $a \cdot b = 30$.

• Если бы множители $a$ и $b$ были оба нечетными, их произведение $a \cdot b$ также было бы нечетным. Однако 30 — четное число. Следовательно, этот случай невозможен.
• Если бы множители $a$ и $b$ были оба четными, их произведение $a \cdot b$ должно было бы делиться на 4 (поскольку $a=2k$, $b=2m$, то $ab=4km$). Однако 30 не делится на 4 нацело ($30 = 4 \cdot 7 + 2$). Следовательно, и этот случай невозможен.

Таким образом, для любой пары целых множителей числа 30 один из них будет четным, а другой — нечетным. В этом случае их сумма $a+b$ и разность $b-a$ всегда будут нечетными. Это означает, что $x = \frac{a+b}{2}$ и $y = \frac{b-a}{2}$ не могут быть целыми числами. Мы пришли к противоречию, которое доказывает, что у уравнения нет целых решений.

Способ 2: Сравнение по модулю 4

Рассмотрим данное уравнение по модулю 4. Это означает, что мы будем анализировать остатки от деления обеих частей уравнения на 4. $x^2 - y^2 \equiv 30 \pmod{4}$.

Выясним, какие остатки может давать квадрат целого числа при делении на 4.

• Если целое число $n$ четное (т.е. $n=2k$), то его квадрат $n^2 = (2k)^2 = 4k^2$. В этом случае $n^2 \equiv 0 \pmod{4}$.
• Если целое число $n$ нечетное (т.е. $n=2k+1$), то его квадрат $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2+k)+1$. В этом случае $n^2 \equiv 1 \pmod{4}$.

Итак, квадрат любого целого числа сравним либо с 0, либо с 1 по модулю 4.

Теперь рассмотрим возможные остатки для левой части уравнения, $x^2 - y^2$, по модулю 4:

• $0 - 0 = 0$
• $1 - 0 = 1$
• $0 - 1 = -1 \equiv 3 \pmod{4}$
• $1 - 1 = 0$

Таким образом, разность квадратов двух любых целых чисел может быть сравнима только с 0, 1 или 3 по модулю 4.

Рассмотрим правую часть уравнения: $30$. При делении на 4 число 30 дает в остатке 2, так как $30 = 4 \cdot 7 + 2$. Значит, $30 \equiv 2 \pmod{4}$.

В итоге мы получаем сравнение $x^2 - y^2 \equiv 2 \pmod{4}$. Как было показано выше, левая часть ($x^2 - y^2$) никогда не может быть сравнима с 2 по модулю 4. Это противоречие доказывает, что уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: Утверждение доказано: уравнение $x^2-y^2=30$ не имеет целых решений.

1231. Докажите, что не существует целых коэффициентов а, b, с и d таких, что значение многочлена ах² + bх² + сх + d равно 1 при х = 19 и равно 2 при х = 62.

Пусть дан многочлен $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, где по условию коэффициенты $a, b, c, d$ являются целыми числами ($a, b, c, d \in \mathbb{Z}$).

Согласно условию задачи, нам даны два значения многочлена в целых точках:

• $P(19) = a \cdot 19^3 + b \cdot 19^2 + c \cdot 19 + d = 1$
• $P(62) = a \cdot 62^3 + b \cdot 62^2 + c \cdot 62 + d = 2$

Доказательство будем проводить методом от противного. Предположим, что такие целые коэффициенты $a, b, c$ и $d$ всё-таки существуют.

Рассмотрим разность значений многочлена в точках $x=62$ и $x=19$.

С одной стороны, эта разность равна: $P(62) - P(19) = 2 - 1 = 1$.

С другой стороны, выразим эту же разность через общую формулу многочлена:

$P(62) - P(19) = (a \cdot 62^3 + b \cdot 62^2 + c \cdot 62 + d) - (a \cdot 19^3 + b \cdot 19^2 + c \cdot 19 + d)$

Сгруппируем слагаемые при одинаковых коэффициентах:

$P(62) - P(19) = a(62^3 - 19^3) + b(62^2 - 19^2) + c(62 - 19)$

Воспользуемся важным свойством многочленов с целыми коэффициентами: для любых двух целых чисел $k$ и $m$, разность значений многочлена $P(k) - P(m)$ всегда делится нацело на разность аргументов $(k - m)$. Это свойство следует из того факта, что для любого натурального $n$ выражение $(k^n - m^n)$ делится на $(k - m)$, так как имеет место тождество $k^n - m^n = (k - m)(k^{n-1} + k^{n-2}m + \dots + m^{n-1})$.

Применительно к нашей задаче, это означает, что разность $P(62) - P(19)$ должна делиться нацело на $(62 - 19)$.

Вычислим значение делителя:

$62 - 19 = 43$.

Таким образом, мы приходим к выводу, что значение $P(62) - P(19)$ должно быть кратно 43.

Однако, как мы посчитали ранее, $P(62) - P(19) = 1$.

Мы получили противоречие: число 1 должно делиться нацело на 43, что является неверным утверждением.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о существовании таких целых коэффициентов $a, b, c, d$ было ошибочным. Следовательно, таких коэффициентов не существует, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

1232. Докажите, что если у есть среднее арифметическое х и z, то х⁴ + 2x³z − 2xz³ − z⁴ − 4x²y² + 4y²z² = 0.

По условию задачи, y является средним арифметическим x и z. Это можно записать в виде формулы:
$y = \frac{x+z}{2}$

Необходимо доказать, что при выполнении этого условия справедливо равенство:
$x^4 + 2x^3z - 2xz^3 - z^4 - 4x^2y^2 + 4y^2z^2 = 0$

Для доказательства преобразуем левую часть этого равенства. Сначала сгруппируем слагаемые:
$(x^4 + 2x^3z - 2xz^3 - z^4) + (-4x^2y^2 + 4y^2z^2)$

Преобразуем первую группу слагаемых, вынося общие множители:
$x^4 + 2x^3z - 2xz^3 - z^4 = (x^4 - z^4) + (2x^3z - 2xz^3)$
Используем формулу разности квадратов и выносим общий множитель $2xz$:
$= (x^2 - z^2)(x^2 + z^2) + 2xz(x^2 - z^2)$
Вынесем общий множитель $(x^2 - z^2)$ за скобки:
$= (x^2 - z^2)(x^2 + z^2 + 2xz)$
Заметим, что выражение во второй скобке является полным квадратом суммы $(x+z)$:
$= (x^2 - z^2)(x+z)^2$

Теперь преобразуем вторую группу слагаемых, вынеся общий множитель $-4y^2$:
$-4x^2y^2 + 4y^2z^2 = -4y^2(x^2 - z^2)$

Подставим преобразованные группы обратно в выражение для левой части равенства:
$(x^2 - z^2)(x+z)^2 - 4y^2(x^2 - z^2)$

Теперь используем исходное условие $y = \frac{x+z}{2}$. Подставим это в полученное выражение:
$(x^2 - z^2)(x+z)^2 - 4\left(\frac{x+z}{2}\right)^2(x^2 - z^2)$
Возведем в квадрат дробь во втором слагаемом:
$= (x^2 - z^2)(x+z)^2 - 4 \cdot \frac{(x+z)^2}{4} \cdot (x^2 - z^2)$
Сократим множитель 4:
$= (x^2 - z^2)(x+z)^2 - (x+z)^2(x^2 - z^2)$
Полученные выражения являются одинаковыми, поэтому их разность равна нулю:
$= 0$

Мы показали, что левая часть равенства тождественно равна нулю при заданном условии. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

1233. Найдите все простые числа р и q, для которых р² − 2q² = 1.

Для решения уравнения $p^2 - 2q^2 = 1$ в простых числах $p$ и $q$ преобразуем его:$p^2 - 1 = 2q^2$$(p-1)(p+1) = 2q^2$

Сначала проверим, может ли $p$ быть равным 2. Если $p=2$, то $2^2 - 2q^2 = 1$, что приводит к уравнению $4 - 2q^2 = 1$, или $2q^2 = 3$. Уравнение $q^2 = 3/2$ не имеет целочисленных решений, значит $p \neq 2$. Поскольку $p$ — простое число, оно должно быть нечетным, то есть $p \ge 3$.

Рассмотрим уравнение по модулю 3. Для любого простого числа $x > 3$ его квадрат при делении на 3 дает в остатке 1, то есть $x^2 \equiv 1 \pmod{3}$.Предположим, что оба простых числа $p$ и $q$ больше 3. Тогда для них выполняются сравнения $p^2 \equiv 1 \pmod{3}$ и $q^2 \equiv 1 \pmod{3}$. Подставим эти значения в исходное уравнение, рассматривая его по модулю 3:$p^2 - 2q^2 \equiv 1 \pmod{3}$$1 - 2 \cdot 1 \equiv 1 \pmod{3}$$1 - 2 \equiv 1 \pmod{3}$$-1 \equiv 1 \pmod{3}$$2 \equiv 1 \pmod{3}$Полученное сравнение неверно. Следовательно, наше предположение о том, что $p > 3$ и $q > 3$, ошибочно. Это означает, что по крайней мере одно из чисел $p$ или $q$ должно быть равно 2 или 3.

Проверим все возможные случаи:

1. Пусть $q=2$. Уравнение принимает вид $p^2 - 2(2^2) = 1$, то есть $p^2 - 8 = 1$, откуда $p^2 = 9$. Так как $p$ — простое число, оно должно быть положительным, поэтому $p=3$. Число 3 является простым. Таким образом, пара $(p,q) = (3,2)$ является решением.

2. Пусть $p=3$. Уравнение принимает вид $3^2 - 2q^2 = 1$, то есть $9 - 2q^2 = 1$, откуда $2q^2 = 8$ и $q^2=4$. Так как $q$ — простое число, $q=2$. Мы получили то же самое решение $(p,q) = (3,2)$.

3. Пусть $q=3$. Уравнение принимает вид $p^2 - 2(3^2) = 1$, то есть $p^2 - 18 = 1$, откуда $p^2 = 19$. Это уравнение не имеет целочисленных решений для $p$, так как 19 не является полным квадратом.

Мы уже показали, что случай $p=2$ невозможен. Таким образом, единственной парой простых чисел, удовлетворяющей данному уравнению, является $p=3$ и $q=2$.

Ответ: $p=3, q=2$.

1234. При каких значениях а, b, с и d является тождеством равенство

Чтобы данное равенство являлось тождеством, оно должно выполняться при любых значениях переменной $x$. Это означает, что многочлен в левой части должен быть равен многочлену в правой части. Мы можем найти коэффициенты $a, b, c, d$ несколькими способами.

Способ 1: Метод неопределенных коэффициентов

Этот метод заключается в том, чтобы раскрыть скобки в правой части равенства, сгруппировать слагаемые по степеням $x$ и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в левой и правой частях.

Исходное тождество:

$5x^3 - 32x^2 + 75x - 71 = a(x - 2)^3 + b(x - 2)^2 + c(x - 2) + d$

Раскроем скобки в правой части, используя формулы сокращенного умножения:

$(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$

$(x - 2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

Подставим эти выражения в правую часть равенства:

$a(x^3 - 6x^2 + 12x - 8) + b(x^2 - 4x + 4) + c(x - 2) + d$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые по степеням $x$:

$ax^3 - 6ax^2 + 12ax - 8a + bx^2 - 4bx + 4b + cx - 2c + d$

$ax^3 + (-6a + b)x^2 + (12a - 4b + c)x + (-8a + 4b - 2c + d)$

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в левой части ($5x^3 - 32x^2 + 75x - 71$) и в полученном выражении для правой части. Составим систему уравнений:

• При $x^3$: $a = 5$
• При $x^2$: $-6a + b = -32$
• При $x$: $12a - 4b + c = 75$
• Свободный член: $-8a + 4b - 2c + d = -71$

Решим эту систему последовательно:

1. Из первого уравнения сразу получаем $a = 5$.

2. Подставим $a=5$ во второе уравнение: $-6(5) + b = -32 \Rightarrow -30 + b = -32 \Rightarrow b = -2$.

3. Подставим $a=5$ и $b=-2$ в третье уравнение: $12(5) - 4(-2) + c = 75 \Rightarrow 60 + 8 + c = 75 \Rightarrow 68 + c = 75 \Rightarrow c = 7$.

4. Подставим $a=5, b=-2, c=7$ в четвертое уравнение: $-8(5) + 4(-2) - 2(7) + d = -71 \Rightarrow -40 - 8 - 14 + d = -71 \Rightarrow -62 + d = -71 \Rightarrow d = -9$.

Способ 2: Метод частных значений (разложение по степеням (x-2))

Правая часть равенства представляет собой разложение многочлена из левой части по степеням двучлена $(x-2)$. Это эквивалентно нахождению коэффициентов ряда Тейлора в точке $x=2$. Можно найти коэффициенты последовательно, подставляя $x=2$ и упрощая выражение.

Пусть $P(x) = 5x^3 - 32x^2 + 75x - 71$.

1. Находим d

Подставим $x=2$ в исходное тождество:

$P(2) = 5(2)^3 - 32(2)^2 + 75(2) - 71 = a(2-2)^3 + b(2-2)^2 + c(2-2) + d$

$40 - 128 + 150 - 71 = a(0) + b(0) + c(0) + d$

$d = -9$

Теперь тождество выглядит так:

$5x^3 - 32x^2 + 75x - 71 = a(x - 2)^3 + b(x - 2)^2 + c(x - 2) - 9$

Перенесем $d=-9$ в левую часть:

$5x^3 - 32x^2 + 75x - 62 = a(x - 2)^3 + b(x - 2)^2 + c(x - 2)$

Разделим обе части на $(x-2)$. Поскольку $x=2$ является корнем многочлена в левой части, деление выполнится без остатка. Результат деления $(5x^3 - 32x^2 + 75x - 62) : (x-2)$ есть $5x^2 - 22x + 31$. Это можно сделать, например, по схеме Горнера или делением столбиком.

Получаем новое тождество: $5x^2 - 22x + 31 = a(x - 2)^2 + b(x - 2) + c$.

2. Находим c

Подставим $x=2$ в новое тождество:

$5(2)^2 - 22(2) + 31 = a(2 - 2)^2 + b(2 - 2) + c$

$20 - 44 + 31 = c$

$c = 7$

Теперь тождество: $5x^2 - 22x + 31 = a(x - 2)^2 + b(x - 2) + 7$.

Переносим $c=7$ влево: $5x^2 - 22x + 24 = a(x - 2)^2 + b(x - 2)$.

Делим на $(x-2)$: $(5x^2 - 22x + 24) : (x-2)$ есть $5x - 12$.

Получаем новое тождество: $5x - 12 = a(x - 2) + b$.

3. Находим b

Подставим $x=2$:

$5(2) - 12 = a(2 - 2) + b$

$10 - 12 = b$

$b = -2$

4. Находим a

Подставим $b=-2$ в последнее тождество: $5x - 12 = a(x - 2) - 2$.

$5x - 10 = a(x - 2)$

$5(x - 2) = a(x - 2)$

Отсюда очевидно, что $a = 5$.

Оба способа приводят к одинаковым результатам.

Ответ: $a = 5$, $b = -2$, $c = 7$, $d = -9$.

1235. Представьте многочлен 3х³ + 7х² + 9х + 6 в виде многочлена ау³ + bу² + су + d, где у = х + 1.

Чтобы представить многочлен $3x^3 + 7x^2 + 9x + 6$ в виде многочлена от переменной $y$, где $y = x + 1$, необходимо выполнить замену переменной.

Сначала выразим $x$ через $y$ из заданного уравнения:

$y = x + 1 \implies x = y - 1$

Теперь подставим это выражение для $x$ в исходный многочлен:

$3x^3 + 7x^2 + 9x + 6 = 3(y-1)^3 + 7(y-1)^2 + 9(y-1) + 6$

Для дальнейшего упрощения раскроем степени выражения $(y-1)$, используя формулы сокращенного умножения:

$(y-1)^2 = y^2 - 2y + 1$

$(y-1)^3 = y^3 - 3y^2(1) + 3y(1)^2 - 1^3 = y^3 - 3y^2 + 3y - 1$

Подставим раскрытые степени обратно в выражение для многочлена:

$3(y^3 - 3y^2 + 3y - 1) + 7(y^2 - 2y + 1) + 9(y-1) + 6$

Теперь раскроем все скобки, умножая коэффициенты на многочлены в скобках:

$ (3y^3 - 9y^2 + 9y - 3) + (7y^2 - 14y + 7) + (9y - 9) + 6 $

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые по степеням $y$:

$ 3y^3 + (-9y^2 + 7y^2) + (9y - 14y + 9y) + (-3 + 7 - 9 + 6) $

Выполним вычисления в каждой группе:

$ 3y^3 - 2y^2 + 4y + 1 $

Таким образом, исходный многочлен представлен в виде многочлена от $y$ как $3y^3 - 2y^2 + 4y + 1$.

Ответ: $3y^3 - 2y^2 + 4y + 1$

1236. При каких натуральных значениях х и у верно равенство 3х + 7у = 23?

Для решения данного уравнения в натуральных числах, то есть в целых положительных числах ($x \ge 1, y \ge 1$), мы можем использовать метод перебора, предварительно ограничив область поиска.

Исходное уравнение: $3x + 7y = 23$.

Выразим одну переменную через другую. Удобнее выразить ту переменную, у которой коэффициент меньше, то есть $x$:
$3x = 23 - 7y$
$x = \frac{23 - 7y}{3}$

Поскольку $x$ и $y$ должны быть натуральными числами, должны выполняться следующие условия: $x \ge 1$ и $y \ge 1$.
Используем условие $x \ge 1$:
$\frac{23 - 7y}{3} \ge 1$
Умножим обе части на 3:
$23 - 7y \ge 3$
Вычтем 23 из обеих частей:
$-7y \ge 3 - 23$
$-7y \ge -20$
Разделим обе части на -7 и сменим знак неравенства:
$y \le \frac{-20}{-7}$
$y \le \frac{20}{7}$
$y \le 2\frac{6}{7}$

Так как по условию $y$ — натуральное число ($y \ge 1$) и $y \le 2\frac{6}{7}$, то возможными значениями для $y$ являются 1 и 2.
Теперь проверим каждое из этих значений, подставляя их в формулу для $x$, чтобы найти целочисленное значение $x$.

1. Если $y = 1$:
$x = \frac{23 - 7 \cdot 1}{3} = \frac{23 - 7}{3} = \frac{16}{3}$.
Это значение не является целым числом, поэтому пара, где $y=1$, не является решением.

2. Если $y = 2$:
$x = \frac{23 - 7 \cdot 2}{3} = \frac{23 - 14}{3} = \frac{9}{3} = 3$.
Мы получили $x = 3$, что является натуральным числом.

Таким образом, единственная пара натуральных чисел, удовлетворяющая уравнению, это $x=3$ и $y=2$.
Выполним проверку:
$3 \cdot 3 + 7 \cdot 2 = 9 + 14 = 23$.
$23 = 23$. Равенство верно.

Ответ: $x = 3, y = 2$.

1237. Решите систему уравнений:

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = -1 & (1) \\ y - z = -1 & (2) \\ z + x = 8 & (3) \end{cases} $

Сложим все три уравнения системы:

$(x - y) + (y - z) + (z + x) = -1 + (-1) + 8$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x - y + y - z + z + x = 6$

$2x = 6$

$x = 3$

Теперь подставим найденное значение $x=3$ в первое и третье уравнения, чтобы найти $y$ и $z$.

Из уравнения (1):

$3 - y = -1$

$y = 3 + 1 = 4$

Из уравнения (3):

$z + 3 = 8$

$z = 8 - 3 = 5$

Проверим найденные значения по второму уравнению:

$y - z = 4 - 5 = -1$. Равенство верно.

Ответ: $(3; 4; 5)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = -3 & (1) \\ y + z = 6 & (2) \\ z + x = 1 & (3) \end{cases} $

Сложим все три уравнения системы:

$(x + y) + (y + z) + (z + x) = -3 + 6 + 1$

$2x + 2y + 2z = 4$

Разделим обе части полученного уравнения на 2:

$x + y + z = 2 \quad (4)$

Теперь, чтобы найти каждую переменную, вычтем из уравнения (4) поочередно уравнения (1), (2) и (3).

Вычтем (1) из (4):

$(x + y + z) - (x + y) = 2 - (-3)$

$z = 5$

Вычтем (2) из (4):

$(x + y + z) - (y + z) = 2 - 6$

$x = -4$

Вычтем (3) из (4):

$(x + y + z) - (z + x) = 2 - 1$

$y = 1$

Ответ: $(-4; 1; 5)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y + 2z = 1 & (1) \\ x - y - z = -2 & (2) \\ 2x - y + z = 1 & (3) \end{cases} $

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1). Это позволит нам исключить переменные $x$ и $y$ одновременно.

$(x - y + 2z) - (x - y - z) = 1 - (-2)$

$x - y + 2z - x + y + z = 1 + 2$

$3z = 3$

$z = 1$

Подставим значение $z = 1$ в уравнения (2) и (3), чтобы получить систему из двух уравнений с двумя переменными.

$ \begin{cases} x - y - 1 = -2 \\ 2x - y + 1 = 1 \end{cases} $

Упростим систему:

$ \begin{cases} x - y = -1 & (4) \\ 2x - y = 0 & (5) \end{cases} $

Вычтем уравнение (4) из уравнения (5):

$(2x - y) - (x - y) = 0 - (-1)$

$2x - y - x + y = 1$

$x = 1$

Подставим $x=1$ в уравнение (5), чтобы найти $y$:

$2(1) - y = 0$

$2 - y = 0$

$y = 2$

Ответ: $(1; 2; 1)$.

1238. Найдите трёхзначное число, которое равно квадрату двузначного числа и кубу однозначного числа.

Пусть искомое трёхзначное число равно $N$. По условию задачи, это число должно одновременно являться квадратом некоторого двузначного числа и кубом некоторого однозначного числа.

Обозначим однозначное число как $b$. Поскольку $N$ — трёхзначное число, оно должно находиться в диапазоне $100 \le N \le 999$. Найдём кубы всех однозначных натуральных чисел ($b$ от 1 до 9), чтобы определить возможные значения для $N$.

Вычислим их кубы:
$1^3 = 1$
$2^3 = 8$
$3^3 = 27$
$4^3 = 64$
$5^3 = 125$
$6^3 = 216$
$7^3 = 343$
$8^3 = 512$
$9^3 = 729$
Куб следующего целого числа, $10^3 = 1000$, уже является четырёхзначным, поэтому другие числа рассматривать не нужно.

Из этого списка выберем только те числа, которые являются трёхзначными. Возможные кандидаты для $N$: 125, 216, 343, 512, 729.

Теперь, согласно условию, проверим, какое из этих чисел является квадратом двузначного числа. Обозначим это двузначное число как $a$.

- Является ли 125 квадратом целого числа? Нет, так как $11^2 = 121$, а $12^2 = 144$.
- Является ли 216 квадратом целого числа? Нет, так как $14^2 = 196$, а $15^2 = 225$.
- Является ли 343 квадратом целого числа? Нет, так как $18^2 = 324$, а $19^2 = 361$.
- Является ли 512 квадратом целого числа? Нет, так как $22^2 = 484$, а $23^2 = 529$.
- Является ли 729 квадратом целого числа? Да, $27^2 = 729$. Число 27 является двузначным.

Таким образом, единственное число, которое удовлетворяет всем условиям, — это 729.
Проверим:
1. 729 — трёхзначное число.
2. $729 = 27^2$, где 27 — двузначное число.
3. $729 = 9^3$, где 9 — однозначное число.
Все условия выполнены.

Альтернативный способ решения:
Если число $N$ является одновременно и точным квадратом ($N=a^2$), и точным кубом ($N=b^3$), то оно должно быть точной шестой степенью некоторого натурального числа $k$, то есть $N = k^6$. Это следует из основной теоремы арифметики, так как показатели степеней в разложении числа $N$ на простые множители должны быть кратны и 2, и 3, а значит, кратны 6.
Проверим значения $k$:
$k=1 \implies N=1^6=1$ (не трёхзначное).
$k=2 \implies N=2^6=64$ (не трёхзначное).
$k=3 \implies N=3^6=729$ (трёхзначное).
$k=4 \implies N=4^6=4096$ (четырёхзначное).
Единственный подходящий вариант — 729.

Ответ: 729.

1239. Найдите два натуральных числа, сумма которых равна 168, а их наибольший общий делитель равен 24.

Пусть искомые натуральные числа — это $a$ и $b$.

По условию задачи нам даны два факта:

1. Сумма чисел равна 168: $a + b = 168$.
2. Их наибольший общий делитель (НОД) равен 24: $НОД(a, b) = 24$.

Из второго условия следует, что оба числа, $a$ и $b$, делятся на 24 без остатка. Это означает, что их можно представить в виде произведений числа 24 и некоторых других натуральных чисел. Обозначим эти числа как $m$ и $n$:

$a = 24 \cdot m$

$b = 24 \cdot n$

Здесь $m$ и $n$ — натуральные числа, которые должны быть взаимно простыми, то есть $НОД(m, n) = 1$. Если бы у $m$ и $n$ был общий делитель $d > 1$, то $НОД(a, b)$ был бы равен $24 \cdot d$, что противоречило бы условию задачи.

Теперь подставим эти выражения в первое уравнение (уравнение суммы):

$24m + 24n = 168$

Вынесем общий множитель 24 за скобки:

$24(m + n) = 168$

Разделим обе части уравнения на 24, чтобы найти сумму $m$ и $n$:

$m + n = \frac{168}{24} = 7$

Теперь нам нужно найти все пары натуральных и взаимно простых чисел $m$ и $n$, сумма которых равна 7. Чтобы избежать повторений, будем считать, что $m < n$.

Рассмотрим возможные пары:

• Если $m = 1$, то $n = 7 - 1 = 6$. Проверяем, являются ли они взаимно простыми: $НОД(1, 6) = 1$. Эта пара подходит.
• Если $m = 2$, то $n = 7 - 2 = 5$. Проверяем: $НОД(2, 5) = 1$. Эта пара тоже подходит.
• Если $m = 3$, то $n = 7 - 3 = 4$. Проверяем: $НОД(3, 4) = 1$. Эта пара также подходит.

Мы нашли все возможные пары $(m, n)$. Теперь для каждой из них вычислим соответствующие значения $a$ и $b$:

1. Для пары $(m, n) = (1, 6)$:
   $a = 24 \cdot 1 = 24$
   $b = 24 \cdot 6 = 144$
   Проверка: $24 + 144 = 168$ и $НОД(24, 144) = 24$.
2. Для пары $(m, n) = (2, 5)$:
   $a = 24 \cdot 2 = 48$
   $b = 24 \cdot 5 = 120$
   Проверка: $48 + 120 = 168$ и $НОД(48, 120) = 24$.
3. Для пары $(m, n) = (3, 4)$:
   $a = 24 \cdot 3 = 72$
   $b = 24 \cdot 4 = 96$
   Проверка: $72 + 96 = 168$ и $НОД(72, 96) = 24$.

Таким образом, существует три пары чисел, удовлетворяющих условиям задачи.

Ответ: 24 и 144; или 48 и 120; или 72 и 96.

1240. Найдите все пары простых чисел, которые являются решениями уравнения х + у = 26.

Нам необходимо найти все пары простых чисел $x$ и $y$, которые удовлетворяют уравнению $x + y = 26$.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само себя.

Сумма $x+y$ равна 26, что является четным числом. Сумма двух чисел является четной, если оба числа имеют одинаковую четность (оба четные или оба нечетные).

Проанализируем возможные варианты для простых чисел $x$ и $y$.

Случай 1: Оба числа $x$ и $y$ — четные простые числа.
Единственное четное простое число — это 2. В этом случае $x=2$ и $y=2$.
Проверим их сумму: $2 + 2 = 4$.
Поскольку $4 \neq 26$, данная пара не является решением уравнения.

Случай 2: Оба числа $x$ и $y$ — нечетные простые числа.
Мы ищем пары нечетных простых чисел, сумма которых равна 26. Для этого выпишем все простые числа, которые меньше 26: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Будем поочередно проверять нечетные простые числа из этого списка. Пусть $x$ — одно из них, тогда $y$ можно найти по формуле $y = 26 - x$.

Проведем проверку:
• Если $x = 3$, то $y = 26 - 3 = 23$. Число 23 является простым. Значит, пара $(3, 23)$ — решение.
• Если $x = 5$, то $y = 26 - 5 = 21$. Число 21 не является простым, так как $21 = 3 \cdot 7$.
• Если $x = 7$, то $y = 26 - 7 = 19$. Число 19 является простым. Значит, пара $(7, 19)$ — решение.
• Если $x = 11$, то $y = 26 - 11 = 15$. Число 15 не является простым, так как $15 = 3 \cdot 5$.
• Если $x = 13$, то $y = 26 - 13 = 13$. Число 13 является простым. Значит, пара $(13, 13)$ — решение.

Проверка для $x > 13$ не требуется, так как она даст те же пары, но в обратном порядке (например, при $x = 19$, получим $y = 7$). Так как уравнение $x + y = 26$ симметрично, если $(a,b)$ является решением, то и $(b,a)$ является решением.

Таким образом, все искомые пары простых чисел: (3, 23), (23, 3), (7, 19), (19, 7) и (13, 13).

Ответ: (3, 23), (7, 19), (13, 13), (19, 7), (23, 3).