Номер 1239, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1239, страница 236.

1239. Найдите два натуральных числа, сумма которых равна 168, а их наибольший общий делитель равен 24.

Пусть искомые натуральные числа — это $a$ и $b$.

По условию задачи нам даны два факта:

1. Сумма чисел равна 168: $a + b = 168$.
2. Их наибольший общий делитель (НОД) равен 24: $НОД(a, b) = 24$.

Из второго условия следует, что оба числа, $a$ и $b$, делятся на 24 без остатка. Это означает, что их можно представить в виде произведений числа 24 и некоторых других натуральных чисел. Обозначим эти числа как $m$ и $n$:

$a = 24 \cdot m$

$b = 24 \cdot n$

Здесь $m$ и $n$ — натуральные числа, которые должны быть взаимно простыми, то есть $НОД(m, n) = 1$. Если бы у $m$ и $n$ был общий делитель $d > 1$, то $НОД(a, b)$ был бы равен $24 \cdot d$, что противоречило бы условию задачи.

Теперь подставим эти выражения в первое уравнение (уравнение суммы):

$24m + 24n = 168$

Вынесем общий множитель 24 за скобки:

$24(m + n) = 168$

Разделим обе части уравнения на 24, чтобы найти сумму $m$ и $n$:

$m + n = \frac{168}{24} = 7$

Теперь нам нужно найти все пары натуральных и взаимно простых чисел $m$ и $n$, сумма которых равна 7. Чтобы избежать повторений, будем считать, что $m < n$.

Рассмотрим возможные пары:

• Если $m = 1$, то $n = 7 - 1 = 6$. Проверяем, являются ли они взаимно простыми: $НОД(1, 6) = 1$. Эта пара подходит.
• Если $m = 2$, то $n = 7 - 2 = 5$. Проверяем: $НОД(2, 5) = 1$. Эта пара тоже подходит.
• Если $m = 3$, то $n = 7 - 3 = 4$. Проверяем: $НОД(3, 4) = 1$. Эта пара также подходит.

Мы нашли все возможные пары $(m, n)$. Теперь для каждой из них вычислим соответствующие значения $a$ и $b$:

1. Для пары $(m, n) = (1, 6)$:
   $a = 24 \cdot 1 = 24$
   $b = 24 \cdot 6 = 144$
   Проверка: $24 + 144 = 168$ и $НОД(24, 144) = 24$.
2. Для пары $(m, n) = (2, 5)$:
   $a = 24 \cdot 2 = 48$
   $b = 24 \cdot 5 = 120$
   Проверка: $48 + 120 = 168$ и $НОД(48, 120) = 24$.
3. Для пары $(m, n) = (3, 4)$:
   $a = 24 \cdot 3 = 72$
   $b = 24 \cdot 4 = 96$
   Проверка: $72 + 96 = 168$ и $НОД(72, 96) = 24$.

Таким образом, существует три пары чисел, удовлетворяющих условиям задачи.

Ответ: 24 и 144; или 48 и 120; или 72 и 96.