Номер 1236, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1236, страница 236.

1236. При каких натуральных значениях х и у верно равенство 3х + 7у = 23?

Для решения данного уравнения в натуральных числах, то есть в целых положительных числах ($x \ge 1, y \ge 1$), мы можем использовать метод перебора, предварительно ограничив область поиска.

Исходное уравнение: $3x + 7y = 23$.

Выразим одну переменную через другую. Удобнее выразить ту переменную, у которой коэффициент меньше, то есть $x$:
$3x = 23 - 7y$
$x = \frac{23 - 7y}{3}$

Поскольку $x$ и $y$ должны быть натуральными числами, должны выполняться следующие условия: $x \ge 1$ и $y \ge 1$.
Используем условие $x \ge 1$:
$\frac{23 - 7y}{3} \ge 1$
Умножим обе части на 3:
$23 - 7y \ge 3$
Вычтем 23 из обеих частей:
$-7y \ge 3 - 23$
$-7y \ge -20$
Разделим обе части на -7 и сменим знак неравенства:
$y \le \frac{-20}{-7}$
$y \le \frac{20}{7}$
$y \le 2\frac{6}{7}$

Так как по условию $y$ — натуральное число ($y \ge 1$) и $y \le 2\frac{6}{7}$, то возможными значениями для $y$ являются 1 и 2.
Теперь проверим каждое из этих значений, подставляя их в формулу для $x$, чтобы найти целочисленное значение $x$.

1. Если $y = 1$:
$x = \frac{23 - 7 \cdot 1}{3} = \frac{23 - 7}{3} = \frac{16}{3}$.
Это значение не является целым числом, поэтому пара, где $y=1$, не является решением.

2. Если $y = 2$:
$x = \frac{23 - 7 \cdot 2}{3} = \frac{23 - 14}{3} = \frac{9}{3} = 3$.
Мы получили $x = 3$, что является натуральным числом.

Таким образом, единственная пара натуральных чисел, удовлетворяющая уравнению, это $x=3$ и $y=2$.
Выполним проверку:
$3 \cdot 3 + 7 \cdot 2 = 9 + 14 = 23$.
$23 = 23$. Равенство верно.

Ответ: $x = 3, y = 2$.