Номер 1241, страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1241, страница 237.

1241. Путь от А до В идёт 3 км в гору, 6 км под гору и 12 км по ровному месту. Этот путь мотоциклист проделал за 1 ч 7 мин, а обратный путь − за 1 ч 16 мин. Найдите скорость мотоциклиста в гору и под гору, если на ровном месте его скорость 18 км/ч.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ км/ч — скорость мотоциклиста в гору, а $y$ км/ч — скорость мотоциклиста под гору.

Сначала переведем общее время в пути в часы:

• Время в пути из А в В: 1 ч 7 мин = $1 + \frac{7}{60} = \frac{67}{60}$ часа.
• Время в пути из В в А: 1 ч 16 мин = $1 + \frac{16}{60} = 1 + \frac{4}{15} = \frac{19}{15}$ часа.

Скорость на ровном участке пути известна и составляет 18 км/ч. Длина этого участка — 12 км. Найдем время, которое мотоциклист тратил на ровный участок в каждом направлении:

$t_{ровн} = \frac{S_{ровн}}{v_{ровн}} = \frac{12 \text{ км}}{18 \text{ км/ч}} = \frac{2}{3}$ часа.

Чтобы найти время, затраченное на подъемы и спуски, вычтем время движения по ровному месту из общего времени в пути для каждого направления.

• Время на подъемы и спуски на пути из А в В: $t_{1} = \frac{67}{60} - \frac{2}{3} = \frac{67}{60} - \frac{40}{60} = \frac{27}{60} = \frac{9}{20}$ часа.
• Время на подъемы и спуски на пути из В в А: $t_{2} = \frac{19}{15} - \frac{2}{3} = \frac{19}{15} - \frac{10}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ часа.

Теперь составим систему уравнений, используя формулу времени $t = \frac{S}{v}$.

На пути из А в В мотоциклист проехал 3 км в гору (со скоростью $x$) и 6 км под гору (со скоростью $y$). Уравнение будет таким:

$\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{9}{20}$

На обратном пути из В в А участок, который был подъемом, стал спуском, и наоборот. Значит, мотоциклист проехал 6 км в гору (со скоростью $x$) и 3 км под гору (со скоростью $y$). Уравнение для обратного пути:

$\frac{6}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{5}$

Получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{9}{20} \\ \frac{6}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{5} \end{cases}$

Для удобства решения разделим первое уравнение на 3, а второе — на 3:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{3}{20} \\ \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5} \end{cases}$

Умножим второе уравнение на 2, чтобы применить метод вычитания:

$2 \cdot (\frac{2}{x} + \frac{1}{y}) = 2 \cdot \frac{1}{5} \implies \frac{4}{x} + \frac{2}{y} = \frac{2}{5}$

Теперь вычтем из полученного уравнения первое уравнение системы:

$(\frac{4}{x} + \frac{2}{y}) - (\frac{1}{x} + \frac{2}{y}) = \frac{2}{5} - \frac{3}{20}$

$\frac{3}{x} = \frac{8}{20} - \frac{3}{20}$

$\frac{3}{x} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$

Отсюда находим $x$: $x = 3 \cdot 4 = 12$. Скорость в гору равна 12 км/ч.

Подставим найденное значение $x = 12$ во второе упрощенное уравнение $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$:

$\frac{2}{12} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$

$\frac{1}{6} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$

$\frac{1}{y} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6}$

$\frac{1}{y} = \frac{6 - 5}{30} = \frac{1}{30}$

Отсюда находим $y$: $y = 30$. Скорость под гору равна 30 км/ч.

Ответ: скорость мотоциклиста в гору — 12 км/ч, скорость под гору — 30 км/ч.