Номер 1234, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1234, страница 236.

1234. При каких значениях а, b, с и d является тождеством равенство

Чтобы данное равенство являлось тождеством, оно должно выполняться при любых значениях переменной $x$. Это означает, что многочлен в левой части должен быть равен многочлену в правой части. Мы можем найти коэффициенты $a, b, c, d$ несколькими способами.

Способ 1: Метод неопределенных коэффициентов

Этот метод заключается в том, чтобы раскрыть скобки в правой части равенства, сгруппировать слагаемые по степеням $x$ и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в левой и правой частях.

Исходное тождество:

$5x^3 - 32x^2 + 75x - 71 = a(x - 2)^3 + b(x - 2)^2 + c(x - 2) + d$

Раскроем скобки в правой части, используя формулы сокращенного умножения:

$(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$

$(x - 2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

Подставим эти выражения в правую часть равенства:

$a(x^3 - 6x^2 + 12x - 8) + b(x^2 - 4x + 4) + c(x - 2) + d$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые по степеням $x$:

$ax^3 - 6ax^2 + 12ax - 8a + bx^2 - 4bx + 4b + cx - 2c + d$

$ax^3 + (-6a + b)x^2 + (12a - 4b + c)x + (-8a + 4b - 2c + d)$

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в левой части ($5x^3 - 32x^2 + 75x - 71$) и в полученном выражении для правой части. Составим систему уравнений:

• При $x^3$: $a = 5$
• При $x^2$: $-6a + b = -32$
• При $x$: $12a - 4b + c = 75$
• Свободный член: $-8a + 4b - 2c + d = -71$

Решим эту систему последовательно:

1. Из первого уравнения сразу получаем $a = 5$.

2. Подставим $a=5$ во второе уравнение: $-6(5) + b = -32 \Rightarrow -30 + b = -32 \Rightarrow b = -2$.

3. Подставим $a=5$ и $b=-2$ в третье уравнение: $12(5) - 4(-2) + c = 75 \Rightarrow 60 + 8 + c = 75 \Rightarrow 68 + c = 75 \Rightarrow c = 7$.

4. Подставим $a=5, b=-2, c=7$ в четвертое уравнение: $-8(5) + 4(-2) - 2(7) + d = -71 \Rightarrow -40 - 8 - 14 + d = -71 \Rightarrow -62 + d = -71 \Rightarrow d = -9$.

Способ 2: Метод частных значений (разложение по степеням (x-2))

Правая часть равенства представляет собой разложение многочлена из левой части по степеням двучлена $(x-2)$. Это эквивалентно нахождению коэффициентов ряда Тейлора в точке $x=2$. Можно найти коэффициенты последовательно, подставляя $x=2$ и упрощая выражение.

Пусть $P(x) = 5x^3 - 32x^2 + 75x - 71$.

1. Находим d

Подставим $x=2$ в исходное тождество:

$P(2) = 5(2)^3 - 32(2)^2 + 75(2) - 71 = a(2-2)^3 + b(2-2)^2 + c(2-2) + d$

$40 - 128 + 150 - 71 = a(0) + b(0) + c(0) + d$

$d = -9$

Теперь тождество выглядит так:

$5x^3 - 32x^2 + 75x - 71 = a(x - 2)^3 + b(x - 2)^2 + c(x - 2) - 9$

Перенесем $d=-9$ в левую часть:

$5x^3 - 32x^2 + 75x - 62 = a(x - 2)^3 + b(x - 2)^2 + c(x - 2)$

Разделим обе части на $(x-2)$. Поскольку $x=2$ является корнем многочлена в левой части, деление выполнится без остатка. Результат деления $(5x^3 - 32x^2 + 75x - 62) : (x-2)$ есть $5x^2 - 22x + 31$. Это можно сделать, например, по схеме Горнера или делением столбиком.

Получаем новое тождество: $5x^2 - 22x + 31 = a(x - 2)^2 + b(x - 2) + c$.

2. Находим c

Подставим $x=2$ в новое тождество:

$5(2)^2 - 22(2) + 31 = a(2 - 2)^2 + b(2 - 2) + c$

$20 - 44 + 31 = c$

$c = 7$

Теперь тождество: $5x^2 - 22x + 31 = a(x - 2)^2 + b(x - 2) + 7$.

Переносим $c=7$ влево: $5x^2 - 22x + 24 = a(x - 2)^2 + b(x - 2)$.

Делим на $(x-2)$: $(5x^2 - 22x + 24) : (x-2)$ есть $5x - 12$.

Получаем новое тождество: $5x - 12 = a(x - 2) + b$.

3. Находим b

Подставим $x=2$:

$5(2) - 12 = a(2 - 2) + b$

$10 - 12 = b$

$b = -2$

4. Находим a

Подставим $b=-2$ в последнее тождество: $5x - 12 = a(x - 2) - 2$.

$5x - 10 = a(x - 2)$

$5(x - 2) = a(x - 2)$

Отсюда очевидно, что $a = 5$.

Оба способа приводят к одинаковым результатам.

Ответ: $a = 5$, $b = -2$, $c = 7$, $d = -9$.