Номер 1227, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Задачи повышенной трудности - номер 1227, страница 236.

Условие.

1227. Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.

Решение 1.

Пусть n - 2; n - 1; n; n + 1; n + 2 – пять последовательных натуральных чисел.

(n - 2)² + (n - 1)² + n² + (n + 1) +
+ (n + 2)² = n² - 4n + 4 + n² - 2n +
+ 1 + n² + n² + 2n + 1 + n² + 4n +
+ 4 = 5n² + 10 = 5(n² + 2)

Чтобы число 5(n² + 2) было квадратом натурального числа, оно должно быть кратно 5, т.е. заканчиваться либо на 5, либо на 0. Найдём квадраты первых десяти натуральных чисел;

1² = 1; 2² = 4; 3² = 9; 4² = 16;
5² = 25; 6² = 36; 7² = 49;
8² = 64; 9² = 81; 10² = 100

Очевидно, что квадрат любого натурального числа оканчивается цифрами: 0; 1; 4; 5; 6; 9.

Наше число 5(n² + 2) кратно 5, т.е. заканчивается либо на 5, либо на 0.

Если n² + 2 заканчивается на 0, то n² = 8, что невозможно.

Если n² + 2 заканчивается на 5 то n² = 3, что невозможно.

Следовательно, 5(n² + 2) не может быть квадратом натурального числа и соответственно, сумма квадратов пяти последовательных чисел не может быть квадратом натурального числа.

Решение 2.

Пусть даны пять последовательных натуральных чисел. Обозначим среднее из них через $n$. Тогда эту последовательность можно записать как $n-2$, $n-1$, $n$, $n+1$, $n+2$. Поскольку числа должны быть натуральными, наименьшее из них, $n-2$, должно быть больше или равно 1. Отсюда следует, что $n$ — натуральное число, и $n \ge 3$.

Найдем сумму их квадратов, обозначив ее $S$:

$S = (n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения, и приведем подобные слагаемые:

$S = (n^2 - 4n + 4) + (n^2 - 2n + 1) + n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4)$

$S = (n^2+n^2+n^2+n^2+n^2) + (-4n-2n+2n+4n) + (4+1+1+4)$

$S = 5n^2 + 10$

Теперь нам нужно доказать, что выражение $5n^2 + 10$ не может быть квадратом натурального числа. Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что $S$ является квадратом некоторого натурального числа $k$:

$5n^2 + 10 = k^2$

Вынесем общий множитель 5 за скобки в левой части уравнения:

$5(n^2 + 2) = k^2$

Из этого равенства следует, что левая часть делится на 5, а значит, и правая часть, $k^2$, должна делиться на 5. Поскольку 5 — простое число, если $k^2$ делится на 5, то и само число $k$ должно делиться на 5. Следовательно, $k$ можно представить в виде $k = 5m$, где $m$ — некоторое натуральное число.

Подставим $k = 5m$ обратно в уравнение:

$5(n^2 + 2) = (5m)^2$

$5(n^2 + 2) = 25m^2$

Разделив обе части уравнения на 5, получим:

$n^2 + 2 = 5m^2$

Рассмотрим это уравнение по модулю 5. Правая часть, $5m^2$, очевидно, делится на 5 нацело, поэтому ее остаток от деления на 5 равен 0.

$n^2 + 2 \equiv 0 \pmod{5}$

Это сравнение можно переписать в виде:

$n^2 \equiv -2 \pmod{5}$

Поскольку $-2 \equiv 3 \pmod{5}$, получаем:

$n^2 \equiv 3 \pmod{5}$

Теперь проверим, какие остатки может давать квадрат натурального числа при делении на 5. Любое натуральное число $n$ при делении на 5 может давать в остатке 0, 1, 2, 3 или 4. Возведем эти остатки в квадрат:

Если $n \equiv 0 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{5}$.
Если $n \equiv 1 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{5}$.
Если $n \equiv 2 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 2^2 = 4 \pmod{5}$.
Если $n \equiv 3 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 3^2 = 9 \equiv 4 \pmod{5}$.
Если $n \equiv 4 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 4^2 = 16 \equiv 1 \pmod{5}$.

Таким образом, квадрат любого натурального числа при делении на 5 может давать в остатке только 0, 1 или 4. Остаток 3 невозможен.

Мы пришли к противоречию, так как из нашего предположения следует, что $n^2$ должно давать остаток 3 при делении на 5, что невозможно. Следовательно, исходное предположение было неверным.

Ответ: Утверждение доказано: сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.