Номер 1227, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1227. Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.

Пусть n - 2; n - 1; n; n + 1; n + 2 – пять последовательных натуральных чисел.

(n - 2)² + (n - 1)² + n² + (n + 1) +
+ (n + 2)² = n² - 4n + 4 + n² - 2n +
+ 1 + n² + n² + 2n + 1 + n² + 4n +
+ 4 = 5n² + 10 = 5(n² + 2)

Чтобы число 5(n² + 2) было квадратом натурального числа, оно должно быть кратно 5, т.е. заканчиваться либо на 5, либо на 0. Найдём квадраты первых десяти натуральных чисел;

1² = 1; 2² = 4; 3² = 9; 4² = 16;
5² = 25; 6² = 36; 7² = 49;
8² = 64; 9² = 81; 10² = 100

Очевидно, что квадрат любого натурального числа оканчивается цифрами: 0; 1; 4; 5; 6; 9.

Наше число 5(n² + 2) кратно 5, т.е. заканчивается либо на 5, либо на 0.

Если n² + 2 заканчивается на 0, то n² = 8, что невозможно.

Если n² + 2 заканчивается на 5 то n² = 3, что невозможно.

Следовательно, 5(n² + 2) не может быть квадратом натурального числа и соответственно, сумма квадратов пяти последовательных чисел не может быть квадратом натурального числа.