Номер 1230, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Задачи повышенной трудности - номер 1230, страница 236.

Условие.

1230. Докажите, что уравнение х² − у² = 30 не имеет целых решений.

Решение 1.

x² - y² = 30
(x - y) (x + y) = 30

1) Пусть x; y – чётные числа, т.е.
x = 2n; y = 2k
(2n - 2k) (2n + 2k) = 30
2(n - k) ⋅ 2(n + k) = 30
4(n - k) (n + k) = 30
$\left(\mathrm{n}-\mathrm{k}\right) \left(\mathrm{n}+\mathrm{k}\right)=\frac{30}{4}$

Произведение должно быть целым числом. Значит, при x и y – чётных, уравнение не имеет целых решений.

2) Пусть x; y – нечётные числа, т.е.
x = 2n + 1; y = 2k + 1
(2n + 1 - 2k - 1) (2n + 1 + 2k + 1) = 30
2(n - k) ⋅ 2(n + k + 1) = 30
4(n - k) (n + k + 1) = 30
$\left(\mathrm{n}-\mathrm{k}\right) \left(\mathrm{n}+\mathrm{k}+1\right)=\frac{30}{4}$

Произведение должно быть целым числом. Значит, при x и y – нечётных, уравнение не имеет целых решений.

3) Пусть x – чётное, y – нечётное число, т.е.
x = 2n; y = 2k + 1
(2n - (2k + 1)) (2n + (2k + 1)) = 30
(2n)² - (2k + 1)² = 30
4n² - 4k² - 4k - 1 = 30
4(n² - k² - k) = 31
${\mathrm{n}}^2-{\mathrm{k}}^2-\mathrm{k} =\frac{31}{4}$

n² - k² - k – должно быть целым числом. Значит, при x – чётном, а y – нечётном уравнение не имеет целых корней.

4) Пусть x – нечётное, y – чётное число, т.е.
x = 2n + 1; y = 2k
(2n + 1 - 2k) (2n + 1 + 2k) = 30
(2n + 1)² - (2k)² = 30
4n² + 4n + 1 - 4k² = 30
4(n² + n - k²) = 29
${\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}-{\mathrm{k}}^2=\frac{29}{4}$

Число n² + n - k² – должно быть целым числом. Значит, при x – нечётном, а y – чётном, уравнение не имеет целых корней.

Следовательно, x² - y² = 30 не имеет целых решений.

Решение 2.

Для доказательства того, что уравнение $x^2 - y^2 = 30$ не имеет решений в целых числах ($x, y \in \mathbb{Z}$), можно воспользоваться одним из следующих методов.

Способ 1: Разложение на множители

Применим формулу разности квадратов к левой части уравнения: $(x-y)(x+y) = 30$.

Поскольку по условию $x$ и $y$ — целые числа, то их разность $(x-y)$ и сумма $(x+y)$ также являются целыми числами. Пусть $a = x-y$ и $b = x+y$. Тогда мы ищем два целых числа $a$ и $b$, произведение которых равно 30.

Выразим $x$ и $y$ через $a$ и $b$ из системы уравнений: $ \begin{cases} x - y = a \\ x + y = b \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2x = a+b$, откуда $x = \frac{a+b}{2}$.
Вычтя первое уравнение из второго, получим $2y = b-a$, откуда $y = \frac{b-a}{2}$.

Чтобы $x$ и $y$ были целыми, необходимо, чтобы суммы $a+b$ и $b-a$ были четными. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковую четность (то есть оба являются четными или оба — нечетными).

Теперь проанализируем произведение $a \cdot b = 30$.

• Если бы множители $a$ и $b$ были оба нечетными, их произведение $a \cdot b$ также было бы нечетным. Однако 30 — четное число. Следовательно, этот случай невозможен.
• Если бы множители $a$ и $b$ были оба четными, их произведение $a \cdot b$ должно было бы делиться на 4 (поскольку $a=2k$, $b=2m$, то $ab=4km$). Однако 30 не делится на 4 нацело ($30 = 4 \cdot 7 + 2$). Следовательно, и этот случай невозможен.

Таким образом, для любой пары целых множителей числа 30 один из них будет четным, а другой — нечетным. В этом случае их сумма $a+b$ и разность $b-a$ всегда будут нечетными. Это означает, что $x = \frac{a+b}{2}$ и $y = \frac{b-a}{2}$ не могут быть целыми числами. Мы пришли к противоречию, которое доказывает, что у уравнения нет целых решений.

Способ 2: Сравнение по модулю 4

Рассмотрим данное уравнение по модулю 4. Это означает, что мы будем анализировать остатки от деления обеих частей уравнения на 4. $x^2 - y^2 \equiv 30 \pmod{4}$.

Выясним, какие остатки может давать квадрат целого числа при делении на 4.

• Если целое число $n$ четное (т.е. $n=2k$), то его квадрат $n^2 = (2k)^2 = 4k^2$. В этом случае $n^2 \equiv 0 \pmod{4}$.
• Если целое число $n$ нечетное (т.е. $n=2k+1$), то его квадрат $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2+k)+1$. В этом случае $n^2 \equiv 1 \pmod{4}$.

Итак, квадрат любого целого числа сравним либо с 0, либо с 1 по модулю 4.

Теперь рассмотрим возможные остатки для левой части уравнения, $x^2 - y^2$, по модулю 4:

• $0 - 0 = 0$
• $1 - 0 = 1$
• $0 - 1 = -1 \equiv 3 \pmod{4}$
• $1 - 1 = 0$

Таким образом, разность квадратов двух любых целых чисел может быть сравнима только с 0, 1 или 3 по модулю 4.

Рассмотрим правую часть уравнения: $30$. При делении на 4 число 30 дает в остатке 2, так как $30 = 4 \cdot 7 + 2$. Значит, $30 \equiv 2 \pmod{4}$.

В итоге мы получаем сравнение $x^2 - y^2 \equiv 2 \pmod{4}$. Как было показано выше, левая часть ($x^2 - y^2$) никогда не может быть сравнима с 2 по модулю 4. Это противоречие доказывает, что уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: Утверждение доказано: уравнение $x^2-y^2=30$ не имеет целых решений.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.