Номер 1223, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1223, страница 235.

1223. Если х ≠ 0 или у ≠ 0, то значение выражения 15у² − 18xу + 15у² положительно. Докажите это.

Для доказательства того, что значение выражения $15x^2 - 18xy + 15y^2$ положительно при условии, что $x \neq 0$ или $y \neq 0$, преобразуем данное выражение, выделив в нем сумму квадратов.

Рассмотрим выражение $15x^2 - 18xy + 15y^2$.

Наша цель — представить его в виде суммы нескольких слагаемых, каждое из которых является неотрицательным (то есть больше или равно нулю). Идеальный кандидат для этого — квадрат какого-либо выражения, так как он всегда неотрицателен.

Попробуем выделить полный квадрат разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Член $-18xy$ можно представить как $-2 \cdot (3x) \cdot (3y)$. Это наводит на мысль о квадрате выражения $(3x-3y)$, который равен $9x^2 - 18xy + 9y^2$.

Чтобы выделить этот квадрат, представим $15x^2$ как $9x^2 + 6x^2$ и $15y^2$ как $9y^2 + 6y^2$.

$15x^2 - 18xy + 15y^2 = (9x^2 + 6x^2) - 18xy + (9y^2 + 6y^2)$

Теперь сгруппируем слагаемые для выделения полного квадрата:

$(9x^2 - 18xy + 9y^2) + 6x^2 + 6y^2$

Выражение в скобках является полным квадратом:

$9(x^2 - 2xy + y^2) + 6x^2 + 6y^2 = 9(x-y)^2 + 6x^2 + 6y^2$

Таким образом, мы получили, что $15x^2 - 18xy + 15y^2 = 9(x-y)^2 + 6x^2 + 6y^2$.

Проанализируем полученное выражение:

1. Слагаемое $9(x-y)^2$ всегда неотрицательно, так как является произведением положительного числа 9 и квадрата числа $(x-y)$. То есть $9(x-y)^2 \ge 0$.
2. Слагаемое $6x^2$ всегда неотрицательно, так как $x^2 \ge 0$. То есть $6x^2 \ge 0$.
3. Слагаемое $6y^2$ всегда неотрицательно, так как $y^2 \ge 0$. То есть $6y^2 \ge 0$.

Сумма этих трех неотрицательных слагаемых будет равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю:

$9(x-y)^2 = 0 \implies x - y = 0 \implies x = y$
$6x^2 = 0 \implies x = 0$
$6y^2 = 0 \implies y = 0$

Система этих трех условий выполняется только при $x=0$ и $y=0$.

По условию задачи, $x \neq 0$ или $y \neq 0$. Это означает, что случай, когда $x$ и $y$ одновременно равны нулю, исключен. Если хотя бы одно из чисел ($x$ или $y$) не равно нулю, то хотя бы одно из слагаемых $6x^2$ или $6y^2$ будет строго положительным. Поскольку все три слагаемых в сумме $9(x-y)^2 + 6x^2 + 6y^2$ неотрицательны, а одно из них строго положительно, то и вся сумма будет строго положительной.

Следовательно, если $x \neq 0$ или $y \neq 0$, то значение выражения $15x^2 - 18xy + 15y^2$ всегда положительно.

Ответ: Утверждение доказано. Преобразование выражения к виду $9(x-y)^2 + 6x^2 + 6y^2$ показывает, что оно представляет собой сумму трех неотрицательных слагаемых. Эта сумма равна нулю только при $x=0$ и $y=0$. Во всех остальных случаях, предусмотренных условием, хотя бы одно из слагаемых $6x^2$ или $6y^2$ будет строго положительным, что делает всю сумму строго положительной.