Номер 1216, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Задачи повышенной трудности - номер 1216, страница 235.

Условие.

1216. Постройте график уравнения:

а) у + у = х;
б) у = х |у|.

Решение 1.

а) у + |у| = х;
y > 0; y + y = x; 2y = x;
$\mathrm{y}=\frac{1}{2}\mathrm{x}$

y = 0; 0 + 0 = x; x = 0

y < 0; y - y = x; x = 0

б) у = х |у|;

y > 0; y = xy; y - xy = 0;
y(1 - x) = 0; y = 0 или
1 - x = 0;
x = 1

y = 0; 0 = x ∙ 0; x – любое

y < 0; y = -xy; y + xy = 0;
y(1 + x) = 0;
y = 0 или
1 + x = 0;
x = -1

Решение 2.

а) Чтобы построить график уравнения $y + |y| = x$, необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака переменной $y$.

1. Пусть $y \ge 0$. В этом случае $|y| = y$. Подставим это в исходное уравнение:

$y + y = x$

$2y = x$

$y = \frac{1}{2}x$

Это уравнение задает прямую линию. Условие $y \ge 0$ для этой прямой эквивалентно условию $\frac{1}{2}x \ge 0$, то есть $x \ge 0$. Таким образом, частью графика является луч, выходящий из начала координат $(0,0)$ и проходящий через точку, например, $(2,1)$. Этот луч расположен в первой координатной четверти.

2. Пусть $y < 0$. В этом случае $|y| = -y$. Подставим в уравнение:

$y + (-y) = x$

$0 = x$

Это уравнение задает прямую $x=0$, то есть ось ординат (ось Oy). Учитывая условие $y < 0$, решением является та часть оси Oy, которая лежит ниже оси абсцисс. Это луч, начинающийся в точке $(0,0)$ (не включая ее) и направленный вертикально вниз.

Объединив оба случая, мы получаем график, состоящий из двух лучей, исходящих из начала координат.

Ответ: График уравнения представляет собой объединение двух лучей с общим началом в точке $(0,0)$: луча $y = \frac{1}{2}x$ при $x \ge 0$ и луча $x=0$ при $y < 0$ (отрицательная полуось Oy).

---

б) Чтобы построить график уравнения $y = x|y|$, рассмотрим три случая в зависимости от знака переменной $y$.

1. Пусть $y > 0$. Тогда $|y| = y$. Уравнение принимает вид:

$y = xy$

Поскольку $y > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $y$:

$1 = x$

Это уравнение задает вертикальную прямую $x=1$. Учитывая условие $y > 0$, частью итогового графика будет луч, выходящий из точки $(1,0)$ (не включая саму точку) и направленный вертикально вверх.

2. Пусть $y < 0$. Тогда $|y| = -y$. Уравнение принимает вид:

$y = x(-y)$

$y = -xy$

Поскольку $y < 0$, мы можем разделить обе части на $y$:

$1 = -x$

$x = -1$

Это уравнение задает вертикальную прямую $x=-1$. Учитывая условие $y < 0$, частью графика будет луч, выходящий из точки $(-1,0)$ (не включая ее) и направленный вертикально вниз.

3. Пусть $y = 0$. Подставим это значение в исходное уравнение:

$0 = x|0|$

$0 = 0$

Это равенство является тождеством, то есть оно верно при любом значении $x$. Следовательно, вся ось абсцисс ($y=0$) является частью графика.

Объединяя результаты всех трех случаев, мы получаем искомый график.

Ответ: График состоит из трех частей: всей оси абсцисс ($y=0$), луча $x=1$ для всех $y>0$, и луча $x=-1$ для всех $y<0$.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.