Номер 1211, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1211, страница 235.

1211. Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 есть простое число или единица.

Пусть $p$ — простое число, а $r$ — остаток от деления $p$ на 30. Согласно определению деления с остатком, мы можем записать:

$p = 30k + r$, где $k$ — целое неотрицательное число, и $0 \le r < 30$.

Нам нужно доказать, что $r$ является простым числом или единицей.

Разложим число 30 на простые множители: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $p$ является одним из простых делителей числа 30.

Это простые числа 2, 3 и 5.

• Если $p = 2$, то $2 = 30 \cdot 0 + 2$. Остаток $r = 2$. Число 2 — простое.
• Если $p = 3$, то $3 = 30 \cdot 0 + 3$. Остаток $r = 3$. Число 3 — простое.
• Если $p = 5$, то $5 = 30 \cdot 0 + 5$. Остаток $r = 5$. Число 5 — простое.

В этом случае утверждение выполняется.

Случай 2: $p$ — простое число, большее 5.

Если $p > 5$, то $p$ не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5. Это означает, что число $p$ взаимно просто с числом 30, то есть их наибольший общий делитель равен 1: $НОД(p, 30) = 1$.

Из равенства $p = 30k + r$ и свойства наибольшего общего делителя ($НОД(a, b) = НОД(a \pm nb, b)$) следует, что $НОД(p, 30) = НОД(30k+r, 30) = НОД(r, 30)$. Поскольку $НОД(p, 30) = 1$, то и $НОД(r, 30) = 1$.

Это означает, что остаток $r$ (где $0 \le r < 30$) не делится на 2, 3 и 5. Осталось проверить, являются ли все такие числа $r$ простыми или единицей.

Если $r=0$, то $НОД(0, 30) = 30 \ne 1$, так что $r \ne 0$.

Если $r=1$, то $НОД(1, 30) = 1$. Единица — одно из искомых значений.

Если $r > 1$, то для проверки его на простоту достаточно проверить делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{r}$. Так как $r < 30$, то $\sqrt{r} < \sqrt{30} \approx 5.47$. Значит, достаточно проверить делимость на простые числа 2, 3 и 5. Но мы уже установили, что $r$ на них не делится. Следовательно, любое такое число $r > 1$ является простым.

Числа $r$ в диапазоне $1 \le r < 30$, которые взаимно просты с 30, это:1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.Как мы видим, 1 является единицей, а все остальные числа в этом списке — простые.

Таким образом, и во втором случае все возможные остатки являются либо единицей, либо простыми числами.

Объединяя оба случая, мы доказали, что остаток от деления любого простого числа на 30 всегда является простым числом или единицей.

Ответ: Утверждение доказано. Для простого числа $p$ и его остатка $r$ при делении на 30 имеем $p = 30k + r$. Если $p \in \{2, 3, 5\}$, то остатки равны 2, 3, 5 соответственно, и являются простыми. Если $p > 5$, то $p$ взаимно просто с 30, а значит и остаток $r$ взаимно прост с 30. Числа $r < 30$, взаимно простые с $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, не делятся на 2, 3 и 5. Кроме единицы, все такие числа (7, 11, 13, 17, 19, 23, 29) являются простыми. Таким образом, остаток от деления простого числа на 30 всегда является простым числом или единицей.