Номер 1218, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1218, страница 235.

1218. Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 − кубом натурального числа.

Пусть искомое наименьшее натуральное число равно $N$. Согласно условию задачи, должны выполняться два условия:

1. Произведение $2 \cdot N$ является квадратом натурального числа. Обозначим это как $2N = a^2$, где $a \in \mathbb{N}$.

2. Произведение $3 \cdot N$ является кубом натурального числа. Обозначим это как $3N = b^3$, где $b \in \mathbb{N}$.

Для решения задачи воспользуемся основной теоремой арифметики о разложении чисел на простые множители.

Число является полным квадратом тогда и только тогда, когда все показатели степеней в его разложении на простые множители являются четными числами.

Число является полным кубом тогда и только тогда, когда все показатели степеней в его разложении на простые множители кратны 3.

Поскольку в условиях задачи фигурируют простые числа 2 и 3, представим искомое число $N$ в виде $N = 2^x \cdot 3^y \cdot k$, где $x$ и $y$ — наименьшие возможные неотрицательные целые показатели, а $k$ — произведение остальных простых множителей в соответствующих степенях.

Рассмотрим первое условие: $2N = 2 \cdot (2^x \cdot 3^y \cdot k) = 2^{x+1} \cdot 3^y \cdot k = a^2$. Из этого следует, что все показатели степеней в разложении $2N$ должны быть четными:

• показатель $x+1$ должен быть четным, что означает, что $x$ — нечетное число;
• показатель $y$ должен быть четным;
• все показатели степеней в разложении $k$ должны быть четными (то есть $k$ — полный квадрат).

Рассмотрим второе условие: $3N = 3 \cdot (2^x \cdot 3^y \cdot k) = 2^x \cdot 3^{y+1} \cdot k = b^3$. Из этого следует, что все показатели степеней в разложении $3N$ должны быть кратны 3:

• показатель $x$ должен быть кратен 3;
• показатель $y+1$ должен быть кратен 3;
• все показатели степеней в разложении $k$ должны быть кратны 3 (то есть $k$ — полный куб).

Теперь найдем наименьшие неотрицательные целые $x$, $y$ и наименьшее натуральное $k$, удовлетворяющие этим условиям, чтобы найти наименьшее $N$.

Для показателя $x$ (степень двойки):
$x$ должен быть нечетным и одновременно кратным 3. Перебирая числа, кратные 3 (3, 6, 9, ...), видим, что наименьшее нечетное из них — это 3. Итак, $x=3$.

Для показателя $y$ (степень тройки):
$y$ должен быть четным, а $y+1$ должно быть кратно 3. Перебирая четные числа для $y$ (0, 2, 4, ...):

• Если $y=0$, то $y+1=1$, что не кратно 3.
• Если $y=2$, то $y+1=3$, что кратно 3. Это наименьшее подходящее значение.

Итак, $y=2$.

Для множителя $k$:
$k$ должно быть одновременно и полным квадратом, и полным кубом. Это означает, что показатели всех простых множителей в его разложении должны быть кратны 2 и 3, то есть кратны их наименьшему общему кратному, НОК(2, 3) = 6. Чтобы $N$ было наименьшим, нужно выбрать наименьшее натуральное $k$. Этому условию удовлетворяет $k=1$ (в этом случае все показатели равны 0, а 0 кратно 6).

Теперь, зная минимальные значения показателей, мы можем найти наименьшее число $N$: $N = 2^x \cdot 3^y \cdot k = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 1 = 8 \cdot 9 = 72$.

Проверим найденное решение:

• $2 \cdot 72 = 144 = 12^2$. Это квадрат натурального числа.
• $3 \cdot 72 = 216 = 6^3$. Это куб натурального числа.

Оба условия выполнены, и так как мы использовали наименьшие возможные показатели, число 72 является наименьшим.

Ответ: 72.