Номер 1221, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1221, страница 235.

1221. Что больше: $\frac{{\mathbf{10}}^{\mathbf{10}}\mathbf{+}\mathbf{1}}{{\mathbf{10}}^{\mathbf{11}}\mathbf{+}\mathbf{1}}$ или $\frac{{\mathbf{10}}^{\mathbf{11}}\mathbf{+}\mathbf{1}}{{\mathbf{10}}^{\mathbf{12}}\mathbf{+}\mathbf{1}}\mathbf{?}$

Для того чтобы определить, какое из чисел больше, сравним дроби $\frac{10^{10} + 1}{10^{11} + 1}$ и $\frac{10^{11} + 1}{10^{12} + 1}$.

Чтобы упростить выражения, введем замену. Пусть $x = 10^{10}$. Тогда дроби можно переписать в следующем виде:

Первая дробь: $\frac{10^{10} + 1}{10^{11} + 1} = \frac{x + 1}{10 \cdot 10^{10} + 1} = \frac{x + 1}{10x + 1}$

Вторая дробь: $\frac{10^{11} + 1}{10^{12} + 1} = \frac{10 \cdot 10^{10} + 1}{100 \cdot 10^{10} + 1} = \frac{10x + 1}{100x + 1}$

Теперь задача сводится к сравнению дробей $\frac{x + 1}{10x + 1}$ и $\frac{10x + 1}{100x + 1}$.

Для сравнения двух положительных дробей можно использовать метод перекрестного умножения. Мы сравним произведение числителя первой дроби на знаменатель второй с произведением числителя второй дроби на знаменатель первой. Так как $x = 10^{10} > 0$, знаменатели обеих дробей положительны, и знак неравенства при умножении не изменится.

Сравним выражения $(x + 1)(100x + 1)$ и $(10x + 1)(10x + 1)$.

1. Раскроем скобки в первом произведении:

$(x + 1)(100x + 1) = x \cdot 100x + x \cdot 1 + 1 \cdot 100x + 1 \cdot 1 = 100x^2 + x + 100x + 1 = 100x^2 + 101x + 1$

2. Раскроем скобки во втором произведении (используя формулу квадрата суммы):

$(10x + 1)^2 = (10x)^2 + 2 \cdot 10x \cdot 1 + 1^2 = 100x^2 + 20x + 1$

3. Теперь сравним полученные выражения:

$100x^2 + 101x + 1$ и $100x^2 + 20x + 1$

Вычтем из обеих частей одинаковые слагаемые $100x^2$ и $1$. Сравнение упрощается до:

$101x$ и $20x$

Так как $x = 10^{10}$ — положительное число, мы можем разделить обе части на $x$, не меняя знака неравенства:

$101$ и $20$

Очевидно, что $101 > 20$.

4. Делаем вывод:

Поскольку $101x > 20x$, то и $100x^2 + 101x + 1 > 100x^2 + 20x + 1$.

Это означает, что $(x + 1)(100x + 1) > (10x + 1)^2$.

Следовательно, первая дробь больше второй:

$\frac{x + 1}{10x + 1} > \frac{10x + 1}{100x + 1}$

Подставляя обратно $x = 10^{10}$, мы получаем окончательный результат:

$\frac{10^{10} + 1}{10^{11} + 1} > \frac{10^{11} + 1}{10^{12} + 1}$

Ответ: $\frac{10^{10} + 1}{10^{11} + 1}$ больше, чем $\frac{10^{11} + 1}{10^{12} + 1}$.