Номер 1224, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1224, страница 236.

1224. Разложите на множители многочлен:
а) х⁸ + х⁴ − 2; б) а⁵ − а² − а − 1; в) n⁴ + 4; г) n⁴ + n² + 1.

a) Для разложения многочлена $x^8 + x^4 - 2$ введём замену переменной. Пусть $y = x^4$. Тогда исходный многочлен можно переписать в виде квадратного трёхчлена относительно $y$:

$y^2 + y - 2$

Разложим этот квадратный трёхчлен на множители. Найдём корни уравнения $y^2 + y - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-2$. Отсюда корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$. Следовательно, трёхчлен раскладывается на множители:

$y^2 + y - 2 = (y - 1)(y + 2)$

Теперь выполним обратную замену, подставив $y = x^4$:

$(x^4 - 1)(x^4 + 2)$

Множитель $(x^4 - 1)$ является разностью квадратов и может быть разложен дальше: $x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)$. В свою очередь, множитель $(x^2 - 1)$ также является разностью квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Таким образом, окончательное разложение на множители с действительными коэффициентами имеет вид:

$(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 2)$

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 2)$.

б) Для разложения многочлена $a^5 - a^2 - a - 1$ применим метод группировки слагаемых. Перегруппируем члены многочлена следующим образом:

$a^5 - a^2 - a - 1 = (a^5 - a) - (a^2 + 1)$

В первой группе вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a(a^4 - 1) - (a^2 + 1)$

Выражение $a^4 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить как $a^4 - 1 = (a^2 - 1)(a^2 + 1)$. Подставим это в наше выражение:

$a(a^2 - 1)(a^2 + 1) - (a^2 + 1)$

Теперь можно вынести за скобки общий множитель $(a^2 + 1)$:

$(a^2 + 1)[a(a^2 - 1) - 1]$

Раскроем скобки и упростим выражение во втором множителе:

$(a^2 + 1)(a^3 - a - 1)$

Многочлен $a^3 - a - 1$ не имеет рациональных корней, поэтому данное разложение является окончательным в поле рациональных чисел.

Ответ: $(a^2 + 1)(a^3 - a - 1)$.

в) Для разложения многочлена $n^4 + 4$ воспользуемся методом выделения полного квадрата. Чтобы выражение $n^4 + 4$ стало частью полного квадрата, добавим и вычтем слагаемое $4n^2$:

$n^4 + 4 = n^4 + 4n^2 + 4 - 4n^2$

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат $(n^2 + 2)^2$. Тогда выражение примет вид разности квадратов:

$(n^4 + 4n^2 + 4) - 4n^2 = (n^2 + 2)^2 - (2n)^2$

Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = n^2 + 2$ и $B = 2n$:

$(n^2 + 2 - 2n)(n^2 + 2 + 2n)$

Упорядочим слагаемые в каждом множителе для стандартного вида:

$(n^2 - 2n + 2)(n^2 + 2n + 2)$

Полученные квадратные трёхчлены не имеют действительных корней и не могут быть разложены дальше на множители с действительными коэффициентами. Данное разложение является примером тождества Софи Жермен.

Ответ: $(n^2 - 2n + 2)(n^2 + 2n + 2)$.

г) Разложим на множители многочлен $n^4 + n^2 + 1$, используя метод выделения полного квадрата. Чтобы получить полный квадрат, нам необходимо иметь слагаемое $2n^2$. Представим $n^2$ как $2n^2 - n^2$:

$n^4 + n^2 + 1 = n^4 + 2n^2 + 1 - n^2$

Сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют полный квадрат $(n^2 + 1)^2$. Выражение превращается в разность квадратов:

$(n^4 + 2n^2 + 1) - n^2 = (n^2 + 1)^2 - n^2$

Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = n^2 + 1$ и $B = n$:

$(n^2 + 1 - n)(n^2 + 1 + n)$

Запишем слагаемые в стандартном порядке:

$(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)$

Полученные квадратные трёхчлены не имеют действительных корней и не раскладываются дальше.

Ответ: $(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)$.