Номер 1228, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Задачи повышенной трудности - номер 1228, страница 236.

Условие.

1228. Докажите, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.

Решение 1.

Пусть n – натуральное число, не кратное 3, т.е. оно делится на 3 с остатком, равным либо 1, либо 2. n = 3k + 1 или n = 3k + 2. Докажем, что n² - 1 кратно 3:

1) (3k + 1)² -1 =
= 9k² + 6k + 1 - 1 =
= 9k² + 6k = 3k(3k + 2);

2) (3k + 2)² - 1 =
= 9k² + 12k + 4 - 1 =
= 9k² + 12k + 3 = 3(3k² + 4k + 1)

Так как и в первом, и во втором случаях присутствует множитель 3, то число n² - 1 кратно 3.

Решение 2.

Пусть $n$ — натуральное число, которое не кратно 3. Требуется доказать, что разность $n^2 - 1$ кратна 3.

Воспользуемся формулой разности квадратов, чтобы преобразовать данное выражение:

$n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)$

Таким образом, нам нужно доказать, что произведение $(n - 1)(n + 1)$ делится на 3.

Рассмотрим три последовательных натуральных числа: $n - 1$, $n$, $n + 1$. Среди любых трех последовательных натуральных чисел одно обязательно делится на 3.

По условию задачи, число $n$ не делится на 3. Это означает, что при делении на 3 оно дает остаток 1 или 2.

Рассмотрим оба возможных случая:

1. Если $n$ при делении на 3 дает остаток 1.
Тогда число $n - 1$ будет делиться на 3 без остатка. Например, если $n=4$, то $n-1=3$. Если $n=7$, то $n-1=6$. В общем виде, если $n = 3k + 1$, то $n - 1 = 3k$. В этом случае множитель $(n-1)$ в произведении $(n - 1)(n + 1)$ кратен 3, а значит, и все произведение кратно 3.

2. Если $n$ при делении на 3 дает остаток 2.
Тогда число $n + 1$ будет делиться на 3 без остатка. Например, если $n=2$, то $n+1=3$. Если $n=5$, то $n+1=6$. В общем виде, если $n = 3k + 2$, то $n + 1 = 3k + 3 = 3(k+1)$. В этом случае множитель $(n+1)$ в произведении $(n - 1)(n + 1)$ кратен 3, а значит, и все произведение кратно 3.

В обоих возможных случаях для числа $n$, не кратного 3, произведение $(n - 1)(n + 1)$ делится на 3. Следовательно, и равная ему разность $n^2 - 1$ кратна 3. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.