Номер 1213, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1213, страница 235.

1213. В двузначном числе зачеркнули одну цифру. Получилось число, которое в 31 раз меньше первоначального. Какую цифру и в каком числе зачеркнули?

Пусть первоначальное двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Согласно определению двузначного числа, $a$ может принимать значения от 1 до 9 ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ — от 0 до 9 ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

В задаче говорится, что одну цифру зачеркнули. Это приводит к двум возможным сценариям.

Случай 1: Зачеркнули цифру единиц (b)

Если зачеркнуть цифру единиц $b$, то оставшееся число будет равно $a$. По условию, первоначальное число в 31 раз больше нового. Составим уравнение:

$10a + b = 31a$

Упростим его, чтобы выразить $b$ через $a$:

$b = 31a - 10a$

$b = 21a$

Теперь проверим, существуют ли цифры $a$ и $b$, удовлетворяющие этому равенству. Так как $a$ — цифра десятков, её наименьшее возможное значение равно 1.Если $a = 1$, то $b = 21 \cdot 1 = 21$.Полученное значение для $b$ больше 9, что невозможно, так как $b$ должна быть одной цифрой. Если $a$ будет больше 1, то и $b$ будет еще больше. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: Зачеркнули цифру десятков (a)

Если зачеркнуть цифру десятков $a$, то оставшееся число будет равно $b$. Снова составим уравнение по условию задачи:

$10a + b = 31b$

Упростим уравнение, чтобы выразить $a$ через $b$:

$10a = 31b - b$

$10a = 30b$

$a = 3b$

Теперь подберем возможные значения для цифры $b$. Важно отметить, что новое число $b$ не может быть равно 0, так как в этом случае первоначальное число было бы $31 \times 0 = 0$, что не является двузначным числом. Значит, $b \in \{1, 2, ..., 9\}$.

• При $b=1$, получаем $a = 3 \cdot 1 = 3$. Первоначальное число — 31. Зачеркиваем цифру десятков (3), получаем 1. Проверка: $31 = 31 \times 1$. Это верное решение.
• При $b=2$, получаем $a = 3 \cdot 2 = 6$. Первоначальное число — 62. Зачеркиваем цифру десятков (6), получаем 2. Проверка: $62 = 31 \times 2$. Это верное решение.
• При $b=3$, получаем $a = 3 \cdot 3 = 9$. Первоначальное число — 93. Зачеркиваем цифру десятков (9), получаем 3. Проверка: $93 = 31 \times 3$. Это верное решение.
• При $b=4$, получаем $a = 3 \cdot 4 = 12$. Это значение для $a$ не является цифрой, так как оно больше 9. Для всех $b \geq 4$ значение $a$ также будет больше 9.

Таким образом, мы нашли три числа, которые удовлетворяют условию задачи.

Ответ: Задача имеет три решения: в числе 31 зачеркнули цифру 3; в числе 62 зачеркнули цифру 6; в числе 93 зачеркнули цифру 9.