Номер 1209, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Задачи повышенной трудности - номер 1209, страница 235.

Условие.

1209. Какое двузначное число в 4 раза больше суммы его цифр?

Решение 1.

Пусть $\overline{\mathrm{xy}}=10\mathrm{x}+\mathrm{y}$ – двузначное число. Зная, что оно в 4 раза больше суммы его цифр, составим и решим уравнение:

10x + y = 4(x + y);
10x + y = 4x + 4y;
10x - 4x = 4y - y;
6x = 3y / : 3
y = 2x

x = 1; y = 2; 12
x = 2; y = 4; 24
x = 3; y = 6; 36
x = 4; y = 8; 48
x = 5; y = 10 – не цифра

Ответ: 12; 24; 36 ;48.

Решение 2.

Пусть искомое двузначное число состоит из $a$ десятков и $b$ единиц. Тогда его можно представить в виде $10a + b$. Сумма его цифр равна $a + b$.

По условию задачи, число в 4 раза больше суммы его цифр. Составим на основе этого условия уравнение:
$10a + b = 4 \cdot (a + b)$

Теперь решим это уравнение относительно $a$ и $b$:
$10a + b = 4a + 4b$
Перенесем слагаемые с $a$ в левую часть, а с $b$ — в правую:
$10a - 4a = 4b - b$
$6a = 3b$
Разделим обе части уравнения на 3, чтобы упростить его:
$2a = b$

Мы получили соотношение, связывающее цифры искомого числа: цифра единиц ($b$) в два раза больше цифры десятков ($a$).
Зная, что $a$ — это цифра от 1 до 9 (поскольку число двузначное), а $b$ — цифра от 0 до 9, найдем все возможные пары:
- Если $a = 1$, то $b = 2 \cdot 1 = 2$. Получается число 12. Проверим: $12 = 4 \cdot (1+2) = 4 \cdot 3$. Это верное равенство.
- Если $a = 2$, то $b = 2 \cdot 2 = 4$. Получается число 24. Проверим: $24 = 4 \cdot (2+4) = 4 \cdot 6$. Это верное равенство.
- Если $a = 3$, то $b = 2 \cdot 3 = 6$. Получается число 36. Проверим: $36 = 4 \cdot (3+6) = 4 \cdot 9$. Это верное равенство.
- Если $a = 4$, то $b = 2 \cdot 4 = 8$. Получается число 48. Проверим: $48 = 4 \cdot (4+8) = 4 \cdot 12$. Это верное равенство.
- Если мы возьмем $a = 5$, то $b = 2 \cdot 5 = 10$. Так как $b$ должно быть цифрой (т.е. $b \le 9$), это и все последующие значения для $a$ не подходят.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют четыре числа.

Ответ: 12, 24, 36, 48.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.