Номер 1206, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Задачи повышенной трудности - номер 1206, страница 235.

Условие.

1206. Докажите, что сумма 1³ + 2³ + ... + 99³ делится на 100.

Решение 1.

1³ + 2³ + ... + 99³ = (1³ + 99³) +
+ (2³ + 98³) + (3³ + 97³) +
+ ... (48³ + 52³) + (49³ + 51³) +
+ 50³ = (1 + 99) (1 - 99 + 99²) +
+ (2 + 98) (4 - 2 ⋅ 98 + 98²) +
+ (3 + 97) (3² - 3 ⋅ 97 + 97²) +
+ ... + (48 + 52) (48² - 48 ⋅ 52 +
+ 52²) + (49 + 51) (49² - 49 ⋅ 51 +
+ 51²) + 125 000 = 100 (1 - 99 +
+ 99² + 4 - 2 ⋅ 98 + 98² + 3² -
- 3 ⋅ 97 + 97² + ... + 48² - 48 ⋅ 52 +
+ 52² + 49² - 49 ⋅ 51 + 51² + 1250)

Следовательно, данная сумма делится на 100, так как один из множителей – это 100.

Решение 2.

Требуется доказать, что сумма $S = 1^3 + 2^3 + ... + 99^3$ делится на 100. Для этого можно воспользоваться одним из двух способов.

Способ 1: Использование формулы суммы кубов

Сумма кубов первых $n$ натуральных чисел вычисляется по формуле: $S_n = \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

В нашем случае $n = 99$. Подставим это значение в формулу, чтобы найти искомую сумму $S$: $S = \left(\frac{99(99+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{99 \cdot 100}{2}\right)^2 = (99 \cdot 50)^2$

Раскроем квадрат: $S = 99^2 \cdot 50^2 = 99^2 \cdot 2500$

Поскольку $2500 = 25 \cdot 100$, мы можем переписать выражение для суммы следующим образом: $S = 99^2 \cdot (25 \cdot 100) = (99^2 \cdot 25) \cdot 100$

Так как множитель $(99^2 \cdot 25)$ является целым числом, то вся сумма $S$ представляет собой произведение целого числа на 100. Это по определению означает, что сумма $S$ делится на 100 без остатка. Что и требовалось доказать.

Способ 2: Группировка слагаемых

Рассмотрим сумму $S = 1^3 + 2^3 + ... + 98^3 + 99^3$ и сгруппируем слагаемые парами: первое с последним, второе с предпоследним и так далее. $S = (1^3 + 99^3) + (2^3 + 98^3) + ... + (49^3 + 51^3) + 50^3$

Всего в сумме 99 слагаемых. Мы можем составить 49 таких пар, и одно слагаемое, $50^3$, останется в центре без пары.

Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ для анализа каждой пары. Общий вид пары: $k^3 + (100-k)^3$, где $k$ пробегает значения от 1 до 49. $k^3 + (100-k)^3 = (k + (100-k))(k^2 - k(100-k) + (100-k)^2) = 100 \cdot (k^2 - 100k + k^2 + (100-k)^2)$

Поскольку первый множитель равен 100, каждая такая пара делится на 100. Сумма 49 слагаемых, каждое из которых делится на 100, также делится на 100.

Теперь рассмотрим оставшееся слагаемое $50^3$: $50^3 = 50 \cdot 50 \cdot 50 = 125000 = 1250 \cdot 100$

Это число также делится на 100.

Исходная сумма $S$ является суммой двух частей: суммы 49 пар и числа $50^3$. Поскольку обе эти части делятся на 100, их сумма, то есть $S$, также делится на 100. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано. Сумма равна $\left(\frac{99 \cdot 100}{2}\right)^2 = (99 \cdot 50)^2 = 99^2 \cdot 2500$. Так как $2500 = 25 \cdot 100$, то вся сумма делится на 100.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.