Номер 1244, страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Задачи повышенной трудности - номер 1244, страница 237.

Условие.

1244. Из города А в город В в 8 ч 50 мин вышли два автобуса. В то же время из города В в город А выехал велосипедист. Один автобус он встретил в 10 ч 10 мин, а другой − в 10 ч 50 мин. Расстояние между городами 100 км. Найдите скорость вело − сипедиста, если скорость одного автобуса в 157 раза больше скорости другого.

Решение 1.

Пусть x км/ч – скорость одного автобуса, тогда $1\frac{5}{7}\mathrm{x} \mathrm{км}/\mathrm{ч}$ – скорость второго автобуса, а y км/ч – скорость велосипедиста.

10ч 10мин - 8ч 50мин =
= 9ч 70мин - 8ч 50 мин =
= 1ч 20 мин – время, которое был в пути второй автомобиль до встречи с велосипедистом.

10ч 50мин - 8ч 50мин = 2ч – время, которое был в пути первый автомобиль до встречи с велосипедистом.

Зная, что расстояние между городами 100 км, составим и решим систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}1\frac{1}{3}·1\frac{5}{7}\mathrm{x}+1\frac{1}{3}\mathrm{y}=100,\\ 2(\mathrm{x}+\mathrm{y})=100;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{3}·\frac{12}{7}\mathrm{x}+\frac{4}{3}\mathrm{y}=100,\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=50;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\frac{16}{7}\mathrm{x}+\frac{4}{3}\mathrm{y}=100 /·21,\\ \mathrm{x}=50-\mathrm{y};\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}48\mathrm{x}+28\mathrm{y}=2100,\\ \mathrm{x}=50-\mathrm{y};\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}48(50-\mathrm{y})+28\mathrm{y}=2100,\\ \mathrm{x}=50-\mathrm{y};\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}2400-48\mathrm{y}+28\mathrm{y}=2100,\\ \mathrm{x}=50-\mathrm{y};\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}2400-20\mathrm{y}=2100,\\ \mathrm{x}=50-\mathrm{y};\end{array}\left\{\begin{array}{l}20\mathrm{y}=300,\\ \mathrm{x}=50-\mathrm{y};\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=15,\\ \mathrm{x}=35.\end{array}\right.$

Ответ: 15 км/ч.

Решение 2.

Обозначим неизвестные величины, используемые в решении:

• $v_в$ - искомая скорость велосипедиста в км/ч;
• $v_{а1}$ и $v_{а2}$ - скорости первого и второго автобусов в км/ч;
• $S$ - расстояние между городами, которое по условию равно 100 км.

Все трое участников движения (велосипедист и два автобуса) начинают движение одновременно в 8 ч 50 мин. Автобусы движутся из города А в город В, а велосипедист — из города В в город А, то есть навстречу автобусам.

1. Определение времени движения до встреч

Первая встреча велосипедиста с одним из автобусов произошла в 10 ч 10 мин. Вычислим, сколько времени прошло с начала движения:

$t_1 = 10 \text{ ч } 10 \text{ мин} - 8 \text{ ч } 50 \text{ мин} = (9 \text{ ч } + 60 \text{ мин}) + 10 \text{ мин} - 8 \text{ ч } 50 \text{ мин} = 9 \text{ ч } 70 \text{ мин} - 8 \text{ ч } 50 \text{ мин} = 1 \text{ ч } 20 \text{ мин}$.

Переведем это время в часы для удобства расчетов: $t_1 = 1 \frac{20}{60} \text{ ч} = 1 \frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{4}{3}$ часа.

Вторая встреча велосипедиста с другим автобусом произошла в 10 ч 50 мин. Вычислим время, прошедшее с начала движения:

$t_2 = 10 \text{ ч } 50 \text{ мин} - 8 \text{ ч } 50 \text{ мин} = 2$ часа.

2. Составление уравнений на основе данных о встречах

Поскольку автобусы выехали одновременно из одной точки, а встреча с велосипедистом произошла в разное время, их скорости различны. Автобус, с которым встреча произошла раньше ($t_1 < t_2$), имеет большую скорость. Обозначим его скорость $v_{быстр}$, а скорость второго, более медленного автобуса, — $v_{медл}$.

При движении навстречу друг другу суммарное расстояние, пройденное велосипедистом и автобусом до момента встречи, равно расстоянию между городами $S=100$ км. Скорость сближения равна сумме их скоростей.

Для первой встречи (с быстрым автобусом):
$(v_{быстр} + v_в) \cdot t_1 = S$
$(v_{быстр} + v_в) \cdot \frac{4}{3} = 100$
Отсюда находим сумму скоростей:
$v_{быстр} + v_в = \frac{100 \cdot 3}{4} = 75$ (Уравнение 1).

Для второй встречи (с медленным автобусом):
$(v_{медл} + v_в) \cdot t_2 = S$
$(v_{медл} + v_в) \cdot 2 = 100$
Отсюда находим сумму скоростей:
$v_{медл} + v_в = \frac{100}{2} = 50$ (Уравнение 2).

3. Использование соотношения скоростей автобусов

По условию задачи скорость одного автобуса в $1\frac{5}{7}$ раза больше скорости другого. Переведем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{5}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{12}{7}$.
Так как $v_{быстр} > v_{медл}$, то их скорости соотносятся как:
$v_{быстр} = \frac{12}{7} v_{медл}$ (Уравнение 3).

4. Решение системы уравнений и нахождение скорости велосипедиста

Мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными ($v_в, v_{быстр}, v_{медл}$):
1) $v_{быстр} + v_в = 75$
2) $v_{медл} + v_в = 50$
3) $v_{быстр} = \frac{12}{7} v_{медл}$

Выразим скорости автобусов через скорость велосипедиста из уравнений (1) и (2):
$v_{быстр} = 75 - v_в$
$v_{медл} = 50 - v_в$

Подставим эти выражения в уравнение (3):
$75 - v_в = \frac{12}{7} (50 - v_в)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $v_в$. Для этого умножим обе части уравнения на 7, чтобы избавиться от знаменателя:
$7 \cdot (75 - v_в) = 12 \cdot (50 - v_в)$
$525 - 7v_в = 600 - 12v_в$
Перенесем члены с $v_в$ в левую часть, а числовые значения — в правую:
$12v_в - 7v_в = 600 - 525$
$5v_в = 75$
$v_в = \frac{75}{5}$
$v_в = 15$

Скорость велосипедиста равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.