Номер 1243, страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1243, страница 237.

1243. Из двух городов А и В, расстояние между которыми 180 км, в 6 ч 20 мин выехали навстречу друг другу автобус и легковой автомобиль. Их встреча произошла в 7 ч 50 мин. Если бы автобус выехал на 1 ч 15 мин раньше, а легковой автомобиль на 15 мин позже, то они встретились бы в 7 ч 35 мин. Какова скорость автобуса и легкового автомобиля?

Пусть $v_а$ км/ч — скорость автобуса, а $v_л$ км/ч — скорость легкового автомобиля. Расстояние между городами $S = 180$ км.

В первой ситуации автобус и легковой автомобиль выехали одновременно в 6 ч 20 мин и встретились в 7 ч 50 мин. Время их совместного движения до встречи составляет:$t_1 = 7 \text{ ч } 50 \text{ мин} - 6 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 1 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 1.5 \text{ ч}$.За это время они вместе проехали всё расстояние в 180 км. Так как они двигались навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей $(v_а + v_л)$. Составим первое уравнение на основе формулы пути $S = v \cdot t$:$(v_а + v_л) \cdot 1.5 = 180$.Отсюда находим сумму скоростей:$v_а + v_л = \frac{180}{1.5} = 120$.

Во второй, гипотетической, ситуации, если бы автобус выехал на 1 ч 15 мин раньше (то есть в $6 \text{ ч } 20 \text{ мин} - 1 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 5 \text{ ч } 5 \text{ мин}$), а легковой автомобиль — на 15 мин позже (то есть в $6 \text{ ч } 20 \text{ мин} + 15 \text{ мин} = 6 \text{ ч } 35 \text{ мин}$), то они встретились бы в 7 ч 35 мин.Найдем время в пути для каждого транспортного средства до момента встречи:Время в пути для автобуса: $t_а = 7 \text{ ч } 35 \text{ мин} - 5 \text{ ч } 5 \text{ мин} = 2 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 2.5 \text{ ч}$.Время в пути для легкового автомобиля: $t_л = 7 \text{ ч } 35 \text{ мин} - 6 \text{ ч } 35 \text{ мин} = 1 \text{ ч}$.Расстояние, пройденное автобусом, равно $S_а = v_а \cdot t_а = 2.5v_а$. Расстояние, пройденное легковым автомобилем, равно $S_л = v_л \cdot t_л = v_л \cdot 1 = v_л$.Вместе они проехали 180 км, поэтому $S_а + S_л = 180$. Составим второе уравнение:$2.5v_а + v_л = 180$.

Теперь решим полученную систему из двух линейных уравнений:$$ \begin{cases} v_а + v_л = 120 \\ 2.5v_а + v_л = 180 \end{cases} $$Из первого уравнения выразим $v_л$: $v_л = 120 - v_а$.Подставим это выражение во второе уравнение:$2.5v_а + (120 - v_а) = 180$.$1.5v_а + 120 = 180$.$1.5v_а = 60$.$v_а = \frac{60}{1.5} = 40$.Таким образом, скорость автобуса равна 40 км/ч.Теперь найдем скорость легкового автомобиля:$v_л = 120 - v_а = 120 - 40 = 80$.Таким образом, скорость легкового автомобиля равна 80 км/ч.

Ответ: скорость автобуса — 40 км/ч, скорость легкового автомобиля — 80 км/ч.