Номер 1243, страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Задачи повышенной трудности - номер 1243, страница 237.

Условие.

1243. Из двух городов А и В, расстояние между которыми 180 км, в 6 ч 20 мин выехали навстречу друг другу автобус и легковой автомобиль. Их встреча произошла в 7 ч 50 мин. Если бы автобус выехал на 1 ч 15 мин раньше, а легковой автомобиль на 15 мин позже, то они встретились бы в 7 ч 35 мин. Какова скорость автобуса и легкового автомобиля?

Решение 1.

Пусть x км/ч – скорость автобуса, y км/ч – скорость легкового автомобиля.

7ч 50мин – 6ч 20мин =
= 1ч 30мин = 1,5ч были в пути автобус и легковой автомобиль. Зная, что расстояние между городами 180 км, составим уравнение: (x + y)1,5 = 180 (1).

6ч 20мин - 1ч 15 мин =
= 5ч 05мин – время, в которое мог бы выехать автобус;

6ч 20мин + 15мин =
= 6ч 35мин – время, в которое мог бы выехать легковой автомобиль;

7ч 35 мин - 5ч 05 мин =
= 2ч 30 мин = 2,5ч – время, которое мог быть в пути автобус до встречи;

7ч 35мин - 6ч 35мин = 1ч – время, которое мог быть в пути легковой автомобиль.

Зная, что расстояние то же 180 км, составим уравнение: 2,5x + y = 180 (2).

Объединим (1) и (2) уравнения в систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}(\mathrm{x}+\mathrm{y})·1,5 = 180,\\ 2,5\mathrm{x}+\mathrm{y}=180;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}=120,\\ \mathrm{y}=180-2,5\mathrm{x};\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+180-2,5\mathrm{x}=120,\\ \mathrm{y}=180-2,5\mathrm{x};\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}180-1,5\mathrm{x}=120,\\ \mathrm{y}=180-2,5\mathrm{x};\end{array}\left\{\begin{array}{l}1,5\mathrm{x}=180-120,\\ \mathrm{y}=180-2,5\mathrm{x};\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}1,5\mathrm{x}=60,\\ \mathrm{y}=180-2,5\mathrm{x};\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=40,\\ \mathrm{y}=180-2,5·40;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=40,\\ \mathrm{y}=180-100,\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=40,\\ \mathrm{y}=80.\end{array}\right.\right.$

Ответ: 40 км/ч, 80 км/ч.

Решение 2.

Пусть $v_а$ км/ч — скорость автобуса, а $v_л$ км/ч — скорость легкового автомобиля. Расстояние между городами $S = 180$ км.

В первой ситуации автобус и легковой автомобиль выехали одновременно в 6 ч 20 мин и встретились в 7 ч 50 мин. Время их совместного движения до встречи составляет:$t_1 = 7 \text{ ч } 50 \text{ мин} - 6 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 1 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 1.5 \text{ ч}$.За это время они вместе проехали всё расстояние в 180 км. Так как они двигались навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей $(v_а + v_л)$. Составим первое уравнение на основе формулы пути $S = v \cdot t$:$(v_а + v_л) \cdot 1.5 = 180$.Отсюда находим сумму скоростей:$v_а + v_л = \frac{180}{1.5} = 120$.

Во второй, гипотетической, ситуации, если бы автобус выехал на 1 ч 15 мин раньше (то есть в $6 \text{ ч } 20 \text{ мин} - 1 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 5 \text{ ч } 5 \text{ мин}$), а легковой автомобиль — на 15 мин позже (то есть в $6 \text{ ч } 20 \text{ мин} + 15 \text{ мин} = 6 \text{ ч } 35 \text{ мин}$), то они встретились бы в 7 ч 35 мин.Найдем время в пути для каждого транспортного средства до момента встречи:Время в пути для автобуса: $t_а = 7 \text{ ч } 35 \text{ мин} - 5 \text{ ч } 5 \text{ мин} = 2 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 2.5 \text{ ч}$.Время в пути для легкового автомобиля: $t_л = 7 \text{ ч } 35 \text{ мин} - 6 \text{ ч } 35 \text{ мин} = 1 \text{ ч}$.Расстояние, пройденное автобусом, равно $S_а = v_а \cdot t_а = 2.5v_а$. Расстояние, пройденное легковым автомобилем, равно $S_л = v_л \cdot t_л = v_л \cdot 1 = v_л$.Вместе они проехали 180 км, поэтому $S_а + S_л = 180$. Составим второе уравнение:$2.5v_а + v_л = 180$.

Теперь решим полученную систему из двух линейных уравнений:$$ \begin{cases} v_а + v_л = 120 \\ 2.5v_а + v_л = 180 \end{cases} $$Из первого уравнения выразим $v_л$: $v_л = 120 - v_а$.Подставим это выражение во второе уравнение:$2.5v_а + (120 - v_а) = 180$.$1.5v_а + 120 = 180$.$1.5v_а = 60$.$v_а = \frac{60}{1.5} = 40$.Таким образом, скорость автобуса равна 40 км/ч.Теперь найдем скорость легкового автомобиля:$v_л = 120 - v_а = 120 - 40 = 80$.Таким образом, скорость легкового автомобиля равна 80 км/ч.

Ответ: скорость автобуса — 40 км/ч, скорость легкового автомобиля — 80 км/ч.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.