Номер 1149, страница 228 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

46. Линейные неравенства с двумя переменными и их системы. § 15. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1149, страница 228.

1149. Изобразите на координатной плоскости множество точек, которое задаёт система неравенств:

$\mathrm{а}) \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y} \le -\mathrm{х},\\ \mathrm{y} \ge -5;\end{array}\right.$

$\mathrm{б}) \left\{\begin{array}{c}\mathrm{y} \ge \mathrm{х} - 2,\\ \mathrm{y} \le \mathrm{х} + 3;\end{array}\right.$

$\mathrm{в}) \left\{\begin{array}{c} \mathrm{y} \ge -2\mathrm{х} + 4,\\ \mathrm{y} \le \mathrm{х} + 1.\end{array}\right.$

а) Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y \le -x, \\ y \ge -5; \end{cases} $

Для того чтобы изобразить множество точек, удовлетворяющих этой системе, построим графики граничных прямых для каждого неравенства и определим соответствующие полуплоскости.

1. Первое неравенство: $y \le -x$. Граничная прямая — $y = -x$. Это прямая, являющаяся биссектрисой II и IV координатных углов. Она проходит через точки (0, 0) и (1, -1). Так как неравенство нестрогое ($ \le $), прямая рисуется сплошной линией, и точки на ней входят в решение. Неравенству $y \le -x$ удовлетворяют все точки, лежащие на прямой $y=-x$ и ниже неё.

2. Второе неравенство: $y \ge -5$. Граничная прямая — $y = -5$. Это горизонтальная прямая, проходящая через точку (0, -5) и параллельная оси Ox. Так как неравенство нестрогое ($ \ge $), прямая также рисуется сплошной линией. Неравенству $y \ge -5$ удовлетворяют все точки, лежащие на прямой $y=-5$ и выше неё.

3. Решением системы является пересечение этих двух множеств. Это область, которая находится одновременно ниже прямой $y=-x$ и выше прямой $y=-5$.

Найдем точку пересечения граничных прямых, решив систему уравнений: $ \begin{cases} y = -x, \\ y = -5; \end{cases} $ Отсюда получаем $-x = -5$, то есть $x=5$. Точка пересечения — (5, -5).

Искомое множество точек — это угол с вершиной в точке (5, -5), ограниченный лучами, выходящими из этой точки и являющимися частями прямых $y=-x$ и $y=-5$.

Ответ: Множество точек представляет собой угол (бесконечную область), ограниченный сплошными лучами, которые являются частями прямых $y = -x$ и $y = -5$, с вершиной в точке их пересечения (5, -5).

б) Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge x - 2, \\ y \le x + 3; \end{cases} $

1. Первое неравенство: $y \ge x - 2$. Граничная прямая — $y = x - 2$. Это прямая с угловым коэффициентом 1, проходящая через точки (0, -2) и (2, 0). Линия сплошная, так как неравенство нестрогое. Решением является полуплоскость, расположенная выше этой прямой, включая саму прямую.

2. Второе неравенство: $y \le x + 3$. Граничная прямая — $y = x + 3$. Это прямая с угловым коэффициентом 1, проходящая через точки (0, 3) и (-3, 0). Линия также сплошная. Решением является полуплоскость, расположенная ниже этой прямой, включая саму прямую.

3. Обе граничные прямые $y = x - 2$ и $y = x + 3$ имеют одинаковый угловой коэффициент $k=1$, следовательно, они параллельны.

Решением системы является пересечение указанных полуплоскостей — область, расположенная между этими двумя параллельными прямыми.

Ответ: Множество точек представляет собой полосу, заключенную между параллельными прямыми $y = x - 2$ и $y = x + 3$, включая сами прямые.

в) Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge -2x + 4, \\ y \le x + 1. \end{cases} $

1. Первое неравенство: $y \ge -2x + 4$. Граничная прямая — $y = -2x + 4$. Это прямая, проходящая через точки (0, 4) и (2, 0). Линия сплошная, так как неравенство нестрогое. Решением является полуплоскость, расположенная выше этой прямой, включая саму прямую.

2. Второе неравенство: $y \le x + 1$. Граничная прямая — $y = x + 1$. Это прямая, проходящая через точки (0, 1) и (-1, 0). Линия также сплошная. Решением является полуплоскость, расположенная ниже этой прямой, включая саму прямую.

3. Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей. Найдем точку пересечения граничных прямых: $ \begin{cases} y = -2x + 4, \\ y = x + 1. \end{cases} $ Приравняем правые части: $-2x + 4 = x + 1$. Решая уравнение, получаем $3 = 3x$, откуда $x=1$. Подставив $x=1$ во второе уравнение, находим $y = 1 + 1 = 2$. Точка пересечения — (1, 2).

Искомое множество точек — это угол с вершиной в точке (1, 2), ограниченный лучами, выходящими из этой точки и являющимися частями прямых $y=-2x+4$ и $y=x+1$. Область находится "внутри" этого угла.

Ответ: Множество точек представляет собой угол (бесконечную область), ограниченный сплошными лучами, которые являются частями прямых $y = -2x + 4$ и $y = x + 1$, с вершиной в точке их пересечения (1, 2).