Номер 1158, страница 229 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1158, страница 229.

1158. Найдите все пары простых чисел, которые являются решениями уравнения a + b = 42.

Требуется найти все пары простых чисел $a$ и $b$, для которых выполняется равенство $a + b = 42$.

Сумма двух чисел $a$ и $b$ равна 42 — это чётное число. Сумма двух натуральных чисел является чётной, если оба слагаемых имеют одинаковую чётность (то есть оба чётные или оба нечётные).

Рассмотрим возможные варианты для простых чисел $a$ и $b$:
1. Оба числа $a$ и $b$ — чётные. Единственное чётное простое число — это 2. Если $a = 2$ и $b = 2$, то их сумма $a + b = 2 + 2 = 4$, что не равно 42. Этот вариант не подходит.
2. Оба числа $a$ и $b$ — нечётные. Сумма двух нечётных чисел всегда чётна, поэтому этот вариант является возможным.

Случай, когда одно число чётное, а другое нечётное, невозможен, так как их сумма была бы нечётной, а 42 — число чётное. Можно также проверить это напрямую: если одно из чисел равно 2 (единственное чётное простое), например $a=2$, то $b=42-2=40$, а 40 не является простым числом.

Итак, мы ищем два нечётных простых числа, сумма которых равна 42. Будем перебирать нечётные простые числа для $a$ и проверять, является ли $b = 42 - a$ также простым числом. Чтобы не рассматривать одни и те же пары дважды, будем проверять простые числа $a$ до половины суммы, то есть $a \le 42 / 2 = 21$.

Проверим нечётные простые числа 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19:
- Если $a = 3$, то $b = 42 - 3 = 39$. 39 не является простым ($39 = 3 \cdot 13$).
- Если $a = 5$, то $b = 42 - 5 = 37$. 37 является простым. Найдена пара (5, 37).
- Если $a = 7$, то $b = 42 - 7 = 35$. 35 не является простым ($35 = 5 \cdot 7$).
- Если $a = 11$, то $b = 42 - 11 = 31$. 31 является простым. Найдена пара (11, 31).
- Если $a = 13$, то $b = 42 - 13 = 29$. 29 является простым. Найдена пара (13, 29).
- Если $a = 17$, то $b = 42 - 17 = 25$. 25 не является простым ($25 = 5^2$).
- Если $a = 19$, то $b = 42 - 19 = 23$. 23 является простым. Найдена пара (19, 23).

Мы нашли все пары, в которых первое число не больше второго. Так как уравнение симметрично относительно $a$ и $b$ ($a+b=b+a$), то решениями также являются и обратные пары.

Ответ: (5, 37), (11, 31), (13, 29), (19, 23), (23, 19), (29, 13), (31, 11), (37, 5).