Номер 1141, страница 225 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

45. Решение задач с помощью систем уравнений. § 15. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1141, страница 225.

1141. Докажите тождество

${({\mathrm{х}}^3 - {\mathrm{у}}^3)}^2 + 2{\mathrm{х}}^3{\mathrm{у}}^3 =({\mathrm{х}}^2 + {\mathrm{у}}^2)({\mathrm{х}}^4+ {\mathrm{у}}^4- {\mathrm{х}}^2{\mathrm{у}}^2)$

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую и правую части по отдельности, чтобы показать, что они равны одному и тому же выражению.

1. Преобразование левой части.

Рассмотрим левую часть равенства: $(x^3 - y^3)^2 + 2x^3y^3$.

Применим формулу сокращенного умножения для квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где в нашем случае $a = x^3$ и $b = y^3$.

$(x^3 - y^3)^2 + 2x^3y^3 = ((x^3)^2 - 2 \cdot x^3 \cdot y^3 + (y^3)^2) + 2x^3y^3$

Раскрыв скобки и степени, получаем:

$x^6 - 2x^3y^3 + y^6 + 2x^3y^3$

Сократим подобные слагаемые $-2x^3y^3$ и $2x^3y^3$:

$x^6 + y^6$

Таким образом, левая часть тождества равна $x^6 + y^6$.

2. Преобразование правой части.

Рассмотрим правую часть равенства: $(x^2 + y^2)(x^4 + y^4 - x^2y^2)$.

Это выражение соответствует формуле суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Чтобы увидеть это, сделаем замену: пусть $a = x^2$ и $b = y^2$. Тогда $a^2 = (x^2)^2 = x^4$, $b^2 = (y^2)^2 = y^4$ и $ab = x^2y^2$.

Подставив эти значения в правую часть нашего тождества, получим выражение вида $(a+b)(a^2 - ab + b^2)$:

$(x^2 + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4)$

Применив формулу суммы кубов, сворачиваем это выражение:

$(x^2)^3 + (y^2)^3 = x^6 + y^6$

Таким образом, правая часть тождества также равна $x^6 + y^6$.

Заключение.

Мы показали, что левая и правая части исходного равенства приводятся к одному и тому же выражению $x^6 + y^6$. Поскольку $x^6 + y^6 = x^6 + y^6$, тождество является верным.

Ответ: Тождество доказано, так как обе его части тождественно равны выражению $x^6 + y^6$.