Номер 1139, страница 225 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

45. Решение задач с помощью систем уравнений. § 15. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1139, страница 225.

1139. (Задача−исследование.) На сколько надо уменьшить число 100, чтобы при делении полученной разности как на 5, так и на 7 остаток был равен 1 и при этом первое частное было на 2 больше второго?
1) Обсудите, какие обозначения удобно ввести для решения задачи.
2) Составьте систему уравнений и решите её.
3) Проверьте правильность полученного ответа.

1) Обсудите, какие обозначения удобно ввести для решения задачи.

Для решения задачи введем следующие переменные:

– Пусть $x$ – это число, на которое нужно уменьшить 100. Это искомая величина.

– Тогда полученная разность будет равна $100 - x$. Обозначим эту разность буквой $N$, то есть $N = 100 - x$.

– По условию, при делении $N$ на 5 остаток равен 1. Обозначим частное от этого деления (первое частное) как $q_1$. Это можно записать в виде формулы деления с остатком: $N = 5 \cdot q_1 + 1$.

– Аналогично, при делении $N$ на 7 остаток равен 1. Обозначим частное от этого деления (второе частное) как $q_2$. Это можно записать как: $N = 7 \cdot q_2 + 1$.

– В задаче сказано, что первое частное на 2 больше второго, следовательно: $q_1 = q_2 + 2$.

Ответ: Удобно ввести следующие обозначения: $x$ – искомое число; $N = 100 - x$ – полученная разность; $q_1$ – частное при делении $N$ на 5; $q_2$ – частное при делении $N$ на 7.

2) Составьте систему уравнений и решите её.

На основе введенных обозначений мы имеем следующие соотношения:

1. $N = 5 \cdot q_1 + 1$

2. $N = 7 \cdot q_2 + 1$

3. $q_1 = q_2 + 2$

Поскольку левые части первого и второго уравнений равны ($N$), мы можем приравнять их правые части:

$5 \cdot q_1 + 1 = 7 \cdot q_2 + 1$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения, чтобы упростить его:

$5 \cdot q_1 = 7 \cdot q_2$

Теперь мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными, $q_1$ и $q_2$:

$\begin{cases} 5 \cdot q_1 = 7 \cdot q_2 \\ q_1 = q_2 + 2 \end{cases}$

Для решения системы подставим выражение для $q_1$ из второго уравнения в первое:

$5 \cdot (q_2 + 2) = 7 \cdot q_2$

Раскроем скобки в левой части:

$5 \cdot q_2 + 10 = 7 \cdot q_2$

Соберем слагаемые с $q_2$ в правой части уравнения:

$10 = 7 \cdot q_2 - 5 \cdot q_2$

$10 = 2 \cdot q_2$

Теперь найдем $q_2$:

$q_2 = \frac{10}{2} = 5$

Зная $q_2$, найдем $q_1$ из уравнения $q_1 = q_2 + 2$:

$q_1 = 5 + 2 = 7$

Мы нашли оба частных. Теперь можно найти число $N$, используя любое из исходных уравнений:

Через $q_1$: $N = 5 \cdot 7 + 1 = 35 + 1 = 36$

Через $q_2$: $N = 7 \cdot 5 + 1 = 35 + 1 = 36$

Результаты совпадают, значит, $N=36$.

Наконец, найдем искомое число $x$ из соотношения $N = 100 - x$:

$36 = 100 - x$

$x = 100 - 36$

$x = 64$

Ответ: Система уравнений составлена и решена. Получено, что число 100 надо уменьшить на 64.

3) Проверьте правильность полученного ответа.

Выполним проверку. Мы выяснили, что число 100 нужно уменьшить на 64. Найдем полученную разность:

$100 - 64 = 36$

Теперь проверим, выполняются ли для числа 36 все условия, указанные в задаче.

1. Деление на 5:
$36 \div 5 = 7$ с остатком $1$ ($36 = 5 \cdot 7 + 1$).
Остаток равен 1. Первое частное $q_1 = 7$. Условие выполнено.

2. Деление на 7:
$36 \div 7 = 5$ с остатком $1$ ($36 = 7 \cdot 5 + 1$).
Остаток равен 1. Второе частное $q_2 = 5$. Условие выполнено.

3. Сравнение частных:
Первое частное $q_1 = 7$, второе частное $q_2 = 5$.
Разница между ними: $q_1 - q_2 = 7 - 5 = 2$.
Первое частное действительно на 2 больше второго. Условие выполнено.

Все условия задачи соблюдены, следовательно, ответ найден верно.

Ответ: Проверка подтверждает, что искомое число, на которое нужно уменьшить 100, равно 64.