Номер 1172, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1172, страница 230.

1172. Постройте график уравнения:
а) у = |х|; б) y = −|х|.

а) $y = |x|$

Для построения графика функции $y = |x|$ необходимо раскрыть модуль. По определению, абсолютная величина (модуль) числа $x$ определяется следующим образом:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Таким образом, для построения графика нам нужно рассмотреть два случая:

1. Когда $x \ge 0$ (правая полуплоскость, включая ось $Oy$), уравнение принимает вид $y = x$. Графиком этой функции является луч, выходящий из начала координат и являющийся биссектрисой первой координатной четверти.

2. Когда $x < 0$ (левая полуплоскость), уравнение принимает вид $y = -x$. Графиком этой функции является луч, выходящий из начала координат и являющийся биссектрисой второй координатной четверти.

Для построения можно составить таблицу значений:

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$y = |x|$	3	2	1	0	1	2	3

Соединив точки, получаем график, состоящий из двух лучей, исходящих из точки $(0, 0)$ и расположенных в I и II координатных четвертях.

Ответ: График уравнения $y = |x|$ состоит из двух лучей: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. Оба луча выходят из начала координат.

б) $y = -|x|$

Для построения графика функции $y = -|x|$ мы также используем определение модуля:

$y = -|x| = \begin{cases} -x, & \text{если } x \ge 0 \\ -(-x), & \text{если } x < 0 \end{cases} = \begin{cases} -x, & \text{если } x \ge 0 \\ x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Таким образом, для построения графика нам также нужно рассмотреть два случая:

1. Когда $x \ge 0$, уравнение принимает вид $y = -x$. Графиком этой функции является луч, выходящий из начала координат и являющийся биссектрисой четвертой координатной четверти.

2. Когда $x < 0$, уравнение принимает вид $y = x$. Графиком этой функции является луч, выходящий из начала координат и проходящий через третью координатную четверть.

Этот график симметричен графику $y = |x|$ относительно оси абсцисс ($Ox$).

Составим таблицу значений для построения:

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$y = -|x|$	-3	-2	-1	0	-1	-2	-3

Соединив точки, получаем график, состоящий из двух лучей, исходящих из точки $(0, 0)$ и расположенных в III и IV координатных четвертях.

Ответ: График уравнения $y = -|x|$ состоит из двух лучей: $y = -x$ при $x \ge 0$ и $y = x$ при $x < 0$. Оба луча выходят из начала координат и направлены вниз.