Номер 1174, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1174, страница 230.

1174. Докажите, что прямые х + у = 5, 2х − у = 16 и х + 2у = 3 пересекаются в одной точке. Каковы координаты этой точки?

Для того чтобы доказать, что прямые $x+y=5$, $2x-y=16$ и $x+2y=3$ пересекаются в одной точке, нужно найти точку пересечения любых двух из этих прямых и затем проверить, удовлетворяют ли координаты этой точки уравнению третьей прямой.

Возьмем первые два уравнения и решим систему, чтобы найти точку их пересечения:

$ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 16 \end{cases} $

Используем метод алгебраического сложения, чтобы исключить переменную $y$. Сложим левые и правые части уравнений:

$(x + y) + (2x - y) = 5 + 16$

$3x = 21$

Разделив обе части на 3, находим $x$:

$x = 7$

Теперь подставим найденное значение $x=7$ в первое уравнение ($x+y=5$) для нахождения $y$:

$7 + y = 5$

$y = 5 - 7$

$y = -2$

Таким образом, точка пересечения прямых $x+y=5$ и $2x-y=16$ имеет координаты $(7, -2)$.

Теперь необходимо проверить, принадлежит ли эта точка третьей прямой, заданной уравнением $x+2y=3$. Подставим координаты $x=7$ и $y=-2$ в это уравнение:

$7 + 2(-2) = 3$

$7 - 4 = 3$

$3 = 3$

Так как мы получили верное равенство, точка $(7, -2)$ лежит и на третьей прямой. Это доказывает, что все три прямые пересекаются в одной точке. Координаты этой точки мы уже нашли в процессе решения.

Ответ: Доказано, что прямые пересекаются в одной точке. Координаты этой точки $(7, -2)$.