Номер 1179, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Дополнительные упражнения к главе VI. К параграфу 14 - номер 1179, страница 230.

Условие.

1179. Имеет ли система решения и если имеет, то сколько:

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}+5\mathrm{y}=17,\\ 4\mathrm{x}-10\mathrm{y}=45,\end{array}\left\{\begin{array}{l}5\mathrm{y}=17-2\mathrm{x},\\ 10\mathrm{y}=4\mathrm{x}-45,\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\frac{17-2\mathrm{x}}{5},\\ \mathrm{y}=\frac{4\mathrm{x}-45}{10},\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-\frac{2}{5}\mathrm{x}+3\frac{2}{5},\\ \mathrm{y}=0,4\mathrm{x}-4,5\end{array}\right.\right.$

Так как ${\mathrm{k}}_1=-\frac{2}{5}, {\mathrm{k}}_2=0,4,$ то прямые пересекаются, значит, система имеет одно решение.

Ответ: одно решение.

$\mathbf{б}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{x}}{5}-\frac{\mathrm{y}}{15}=1 /·15,\\ 6\mathrm{x}-2\mathrm{y}=35,\end{array}\left\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}-\mathrm{y}=15,\\ 6\mathrm{x}-2\mathrm{y}=35,\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=3\mathrm{x}-15,\\ 2\mathrm{y}=6\mathrm{x}-35,\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=3\mathrm{x}-15,\\ \mathrm{y}=3\mathrm{x}-17,5\end{array}\right.\right.$

Так как ${\mathrm{k}}_1= {\mathrm{k}}_2=3,$ то прямые параллельны, значит, система не имеет решений.

Ответ: не имеет решений.

$\mathbf{в}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}0,2\mathrm{x}-5\mathrm{y}=11,\\ -\mathrm{x}+25\mathrm{y}=-55,\end{array}\left\{\begin{array}{l}5\mathrm{y}=0,2\mathrm{x}-11,\\ 25\mathrm{y}=-55+\mathrm{x},\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\frac{0,2\mathrm{x}-11}{5},\\ \mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}-55}{25},\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\frac{1}{25}\mathrm{x}-\frac{11}{5},\\ \mathrm{y}=\frac{1}{25}\mathrm{x}-\frac{11}{5}\end{array}\right.\right.$

Так как ${\mathrm{k}}_1={\mathrm{k}}_2=\frac{1}{25}$ и ${\mathrm{b}}_1={\mathrm{b}}_2=-\frac{11}{5},$ то прямые совпадают, значит, система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: бесконечное множество решений.

$\mathbf{г}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}+\frac{1}{3}\mathrm{y}=10 /·3,\\ 9\mathrm{x}-2\mathrm{y}=1,\end{array}\left\{\begin{array}{l}9\mathrm{x}+\mathrm{y}=30,\\ 2\mathrm{y}=9\mathrm{x}-1,\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=30-9\mathrm{x},\\ \mathrm{y}=\frac{9\mathrm{x}-1}{2},\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-9\mathrm{x}+30,\\ \mathrm{y}=4,5\mathrm{x}-0,5\end{array}\right.\right.$

Так как ${\mathrm{k}}_1=9; {\mathrm{k}}_2=4,5,$ то прямые пересекаются, значит, система имеет одно решение.

Ответ: одно решение.

Решение 2.

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 2x + 5y = 17 \\ 4x - 10y = 45 \end{cases}$

Чтобы определить, сколько решений имеет система линейных уравнений вида $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$, нужно сравнить отношения коэффициентов при переменных и свободных членов.

В данной системе $a_1 = 2$, $b_1 = 5$, $c_1 = 17$ и $a_2 = 4$, $b_2 = -10$, $c_2 = 45$.

Найдем отношения коэффициентов при $x$ и $y$:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{5}{-10} = -\frac{1}{2}$

Так как отношения коэффициентов при переменных не равны ($\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, поскольку $\frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2}$), то прямые, являющиеся графиками этих уравнений, пересекаются в одной точке. Это означает, что система имеет единственное решение.

Ответ: система имеет одно решение.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{x}{5} - \frac{y}{15} = 1 \\ 6x - 2y = 35 \end{cases}$

Сначала преобразуем первое уравнение, умножив его на 15, чтобы избавиться от знаменателей:

$15 \cdot (\frac{x}{5} - \frac{y}{15}) = 15 \cdot 1$

$3x - y = 15$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 3x - y = 15 \\ 6x - 2y = 35 \end{cases}$

Сравним отношения коэффициентов: $a_1=3, b_1=-1, c_1=15$ и $a_2=6, b_2=-2, c_2=35$.

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}$

Поскольку отношения коэффициентов при переменных равны, а отношение свободных членов им не равно ($\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, так как $\frac{1}{2} \neq \frac{3}{7}$), то прямые параллельны и не совпадают. Следовательно, у системы нет решений.

Ответ: система не имеет решений.

в)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 0.2x - 5y = 11 \\ -x + 25y = -55 \end{cases}$

Сравним отношения коэффициентов: $a_1=0.2, b_1=-5, c_1=11$ и $a_2=-1, b_2=25, c_2=-55$.

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{0.2}{-1} = -0.2 = -\frac{1}{5}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-5}{25} = -\frac{1}{5}$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{11}{-55} = -\frac{1}{5}$

Так как все три отношения равны ($\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$), то уравнения в системе являются равносильными, а их графики — совпадающими прямыми. Это значит, что система имеет бесконечно много решений.

Ответ: система имеет бесконечно много решений.

г)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 3x + \frac{1}{3}y = 10 \\ 9x - 2y = 1 \end{cases}$

Сравним отношения коэффициентов: $a_1=3, b_1=\frac{1}{3}, c_1=10$ и $a_2=9, b_2=-2, c_2=1$.

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1/3}{-2} = -\frac{1}{6}$

Поскольку отношения коэффициентов при переменных не равны ($\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, так как $\frac{1}{3} \neq -\frac{1}{6}$), то прямые, являющиеся графиками этих уравнений, пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет единственное решение.

Ответ: система имеет одно решение.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.