Номер 1179, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1179, страница 230.

1179. Имеет ли система решения и если имеет, то сколько:

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 2x + 5y = 17 \\ 4x - 10y = 45 \end{cases}$

Чтобы определить, сколько решений имеет система линейных уравнений вида $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$, нужно сравнить отношения коэффициентов при переменных и свободных членов.

В данной системе $a_1 = 2$, $b_1 = 5$, $c_1 = 17$ и $a_2 = 4$, $b_2 = -10$, $c_2 = 45$.

Найдем отношения коэффициентов при $x$ и $y$:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{5}{-10} = -\frac{1}{2}$

Так как отношения коэффициентов при переменных не равны ($\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, поскольку $\frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2}$), то прямые, являющиеся графиками этих уравнений, пересекаются в одной точке. Это означает, что система имеет единственное решение.

Ответ: система имеет одно решение.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{x}{5} - \frac{y}{15} = 1 \\ 6x - 2y = 35 \end{cases}$

Сначала преобразуем первое уравнение, умножив его на 15, чтобы избавиться от знаменателей:

$15 \cdot (\frac{x}{5} - \frac{y}{15}) = 15 \cdot 1$

$3x - y = 15$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 3x - y = 15 \\ 6x - 2y = 35 \end{cases}$

Сравним отношения коэффициентов: $a_1=3, b_1=-1, c_1=15$ и $a_2=6, b_2=-2, c_2=35$.

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}$

Поскольку отношения коэффициентов при переменных равны, а отношение свободных членов им не равно ($\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, так как $\frac{1}{2} \neq \frac{3}{7}$), то прямые параллельны и не совпадают. Следовательно, у системы нет решений.

Ответ: система не имеет решений.

в)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 0.2x - 5y = 11 \\ -x + 25y = -55 \end{cases}$

Сравним отношения коэффициентов: $a_1=0.2, b_1=-5, c_1=11$ и $a_2=-1, b_2=25, c_2=-55$.

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{0.2}{-1} = -0.2 = -\frac{1}{5}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-5}{25} = -\frac{1}{5}$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{11}{-55} = -\frac{1}{5}$

Так как все три отношения равны ($\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$), то уравнения в системе являются равносильными, а их графики — совпадающими прямыми. Это значит, что система имеет бесконечно много решений.

Ответ: система имеет бесконечно много решений.

г)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 3x + \frac{1}{3}y = 10 \\ 9x - 2y = 1 \end{cases}$

Сравним отношения коэффициентов: $a_1=3, b_1=\frac{1}{3}, c_1=10$ и $a_2=9, b_2=-2, c_2=1$.

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1/3}{-2} = -\frac{1}{6}$

Поскольку отношения коэффициентов при переменных не равны ($\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, так как $\frac{1}{3} \neq -\frac{1}{6}$), то прямые, являющиеся графиками этих уравнений, пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет единственное решение.

Ответ: система имеет одно решение.