Номер 1131, страница 224 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Параграф 15. Решение систем линейных уравнений. 45. Решение задач с помощью систем уравнений - номер 1131, страница 224.

Условие.

1131. Старинная задача. На левой чаше весов, находящихся в равновесии, лежат 9 одинаковых слитков золота, а на правой − 11 одинаковых слитков серебра. Если поменять местами один слиток золота со слитком серебра, то левая чаша окажется на 13 г легче правой. Сколько весит один слиток золота и один слиток серебра?

Решение 1.

Пусть x г весит один слиток золота, иy г – один слиток серебра. Зная, что на левой чаше весов лежат 9 одинаковых слитков золота, а на правой 11 одинаковых слитков серебра и чаши находятся в равновесии, получим уравнение 9x = 11y. Если поменять местами один слиток золота со слитком серебра, то левая чаша окажется на 13 г легче правой, составим второе уравнение: 8x + y + 13 = 10y + x. Получим систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}9\mathrm{x}=11\mathrm{y};\\ 8\mathrm{x}+\mathrm{y}+13=10\mathrm{y}+\mathrm{x};\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{11\mathrm{y}}{9};\\ 8·\frac{11\mathrm{y}}{9}+\mathrm{y}+13=10\mathrm{y}+\frac{11\mathrm{y}}{9} /·9;\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{11\mathrm{y}}{9};\\ 88\mathrm{y}+9\mathrm{y}+117=90\mathrm{y}+11\mathrm{y};\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{11\mathrm{y}}{9};\\ 97\mathrm{y}-101\mathrm{y}=-117;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{11\mathrm{y}}{9};\\ -4\mathrm{y}=-117;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{11\mathrm{y}}{9};\\ \mathrm{y}=29,25;\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{11·29,25}{9};\\ \mathrm{y}=29,25;\end{array}\right.\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=35,75;\\ \mathrm{y}=29,25.\end{array}\right.$

Ответ: 35,75 г, 29,25 г.

Решение 2.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — масса одного слитка золота в граммах, а $y$ — масса одного слитка серебра в граммах.

Из первого условия, что весы находятся в равновесии, когда на левой чаше 9 слитков золота, а на правой — 11 слитков серебра, следует первое уравнение:

$9x = 11y$

Рассмотрим изменение веса на чашах после обмена одного слитка золота на один слиток серебра.С левой чаши убрали слиток золота (масса уменьшилась на $x$) и добавили слиток серебра (масса увеличилась на $y$). Общее изменение веса на левой чаше составило $y - x$.На правую чашу убрали слиток серебра (масса уменьшилась на $y$) и добавили слиток золота (масса увеличилась на $x$). Общее изменение веса на правой чаше составило $x - y$.

После обмена правая чаша стала на 13 г тяжелее левой. Изначально разница в весе между правой и левой чашами была равна 0. Новая разница в весе стала равна 13 г. Это изменение разницы в весе равно разнице изменений весов на чашах:

Изменение на правой чаше - Изменение на левой чаше = Новая разница

$(x - y) - (y - x) = 13$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$x - y - y + x = 13$

$2x - 2y = 13$

$2(x - y) = 13$

$x - y = 6,5$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 9x = 11y \\ x - y = 6,5 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y + 6,5$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$9(y + 6,5) = 11y$

$9y + 58,5 = 11y$

$11y - 9y = 58,5$

$2y = 58,5$

$y = 29,25$

Итак, масса одного слитка серебра составляет 29,25 г. Теперь найдем массу слитка золота, используя выражение $x = y + 6,5$:

$x = 29,25 + 6,5 = 35,75$

Масса одного слитка золота составляет 35,75 г.

Ответ: один слиток золота весит 35,75 г, а один слиток серебра — 29,25 г.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.