Номер 1125, страница 223 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

45. Решение задач с помощью систем уравнений. § 15. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1125, страница 223.

1125. Теплоход проходит за 3 ч по течению и 2 ч против течения 240 км. Этот же теплоход за 3 ч против течения проходит на 35 км больше, чем за 2 ч по течению. Найдите скорость теплохода против течения и его скорость по течению.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_{по}$ км/ч — это скорость теплохода по течению, а $v_{пр}$ км/ч — это скорость теплохода против течения.

Исходя из первого условия, "теплоход проходит за 3 ч по течению и 2 ч против течения 240 км", можно составить первое уравнение. Зная, что расстояние равно скорости, умноженной на время ($S = v \cdot t$), получаем:
$3 \cdot v_{по} + 2 \cdot v_{пр} = 240$

Исходя из второго условия, "этот же теплоход за 3 ч против течения проходит на 35 км больше, чем за 2 ч по течению", составим второе уравнение:
$3 \cdot v_{пр} = 2 \cdot v_{по} + 35$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными: $$ \begin{cases} 3v_{по} + 2v_{пр} = 240 \\ 3v_{пр} = 2v_{по} + 35 \end{cases} $$ Перепишем второе уравнение в стандартном виде $-2v_{по} + 3v_{пр} = 35$, чтобы было удобнее решать систему: $$ \begin{cases} 3v_{по} + 2v_{пр} = 240 \\ -2v_{по} + 3v_{пр} = 35 \end{cases} $$ Решим эту систему методом сложения. Для этого умножим все члены первого уравнения на 2, а все члены второго уравнения на 3: $$ \begin{cases} 2 \cdot (3v_{по} + 2v_{пр}) = 2 \cdot 240 \\ 3 \cdot (-2v_{по} + 3v_{пр}) = 3 \cdot 35 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 6v_{по} + 4v_{пр} = 480 \\ -6v_{по} + 9v_{пр} = 105 \end{cases} $$ Теперь сложим левые и правые части уравнений:
$(6v_{по} + 4v_{пр}) + (-6v_{по} + 9v_{пр}) = 480 + 105$
$13v_{пр} = 585$
Найдем $v_{пр}$:
$v_{пр} = \frac{585}{13} = 45$
Таким образом, скорость теплохода против течения составляет 45 км/ч.

Теперь найдем скорость по течению $v_{по}$, подставив значение $v_{пр} = 45$ в первое уравнение исходной системы:
$3v_{по} + 2 \cdot 45 = 240$
$3v_{по} + 90 = 240$
$3v_{по} = 240 - 90$
$3v_{по} = 150$
$v_{по} = \frac{150}{3} = 50$
Таким образом, скорость теплохода по течению составляет 50 км/ч.

Ответ: скорость теплохода против течения равна 45 км/ч, а его скорость по течению — 50 км/ч.