Номер 1122, страница 223 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

45. Решение задач с помощью систем уравнений. § 15. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1122, страница 223.

1122. Сколько лет брату и сколько лет сестре, если 2 года назад брат был старше сестры в 2 раза, а 8 лет назад − в 5 раз?

Пусть $b$ — это текущий возраст брата, а $s$ — текущий возраст сестры.

Исходя из условий задачи, можно составить систему уравнений.

Первое условие: 2 года назад брат был в 2 раза старше сестры. Возраст брата 2 года назад был $b - 2$, а возраст сестры — $s - 2$. Это дает нам первое уравнение:
$b - 2 = 2 \cdot (s - 2)$

Второе условие: 8 лет назад брат был в 5 раз старше сестры. Возраст брата 8 лет назад был $b - 8$, а возраст сестры — $s - 8$. Это дает нам второе уравнение:
$b - 8 = 5 \cdot (s - 8)$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $ \begin{cases} b - 2 = 2(s - 2) \\ b - 8 = 5(s - 8) \end{cases} $

Упростим каждое уравнение. Сначала раскроем скобки: $ \begin{cases} b - 2 = 2s - 4 \\ b - 8 = 5s - 40 \end{cases} $

Теперь выразим переменную $b$ из обоих уравнений: $ \begin{cases} b = 2s - 2 \\ b = 5s - 32 \end{cases} $

Поскольку левые части уравнений равны ($b=b$), мы можем приравнять их правые части, чтобы найти возраст сестры $s$:
$2s - 2 = 5s - 32$
Перенесем слагаемые с $s$ в одну сторону, а числа — в другую:
$32 - 2 = 5s - 2s$
$30 = 3s$
$s = \frac{30}{3}$
$s = 10$

Таким образом, текущий возраст сестры — 10 лет.

Теперь, зная возраст сестры, найдем возраст брата, подставив значение $s=10$ в любое из выражений для $b$. Возьмем первое: $b = 2s - 2$.
$b = 2 \cdot 10 - 2$
$b = 20 - 2$
$b = 18$

Следовательно, текущий возраст брата — 18 лет.

Проверка:
1. 2 года назад: брату было $18 - 2 = 16$ лет, сестре $10 - 2 = 8$ лет. Соотношение возрастов $16 / 8 = 2$. Верно.
2. 8 лет назад: брату было $18 - 8 = 10$ лет, сестре $10 - 8 = 2$ года. Соотношение возрастов $10 / 2 = 5$. Верно.

Ответ: брату 18 лет, сестре 10 лет.