Номер 1121, страница 223 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

45. Решение задач с помощью систем уравнений. § 15. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1121, страница 223.

1121. Старинная задача. Если А получит от В 100 рупий, то станет вдвое его богаче, а если А даст В 10 рупий, то В станет вшестеро богаче. Сколько денег у каждого?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $A$ — это количество денег у первого человека (А), а $B$ — количество денег у второго человека (В).

Исходя из первого условия задачи, мы можем составить первое уравнение. Если А получит от В 100 рупий, у А станет $A + 100$ рупий, а у В останется $B - 100$ рупий. При этом А станет вдвое богаче В.

Запишем это в виде уравнения:

$A + 100 = 2(B - 100)$

Теперь рассмотрим второе условие. Если А даст В 10 рупий, у А останется $A - 10$ рупий, а у В станет $B + 10$ рупий. В этом случае В станет вшестеро богаче А.

Запишем второе уравнение:

$B + 10 = 6(A - 10)$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} A + 100 = 2(B - 100) \\ B + 10 = 6(A - 10) \end{cases}$

Упростим каждое уравнение:

1) $A + 100 = 2B - 200 \implies A - 2B = -300$

2) $B + 10 = 6A - 60 \implies -6A + B = -70$

Теперь решим эту систему. Выразим $B$ из второго уравнения:

$B = 6A - 70$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$A - 2(6A - 70) = -300$

$A - 12A + 140 = -300$

$-11A = -300 - 140$

$-11A = -440$

$A = \frac{-440}{-11} = 40$

Мы нашли количество денег у А. Теперь найдем количество денег у В, подставив значение $A$ в выражение для $B$:

$B = 6 \cdot 40 - 70 = 240 - 70 = 170$

Таким образом, у А было 40 рупий, а у В было 170 рупий.

Проверим решение:

1) Если А получит 100 рупий от В: у А станет $40 + 100 = 140$, у В останется $170 - 100 = 70$. $140$ ровно вдвое больше $70$. Условие выполняется.

2) Если А даст 10 рупий В: у А останется $40 - 10 = 30$, у В станет $170 + 10 = 180$. $180$ ровно вшестеро больше $30$. Условие выполняется.

Ответ: у А было 40 рупий, а у В — 170 рупий.