Номер 1126, страница 223 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

45. Решение задач с помощью систем уравнений. § 15. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1126, страница 223.

1126. Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 280 км, выходят одновременно два автомобиля. Если автомобили будут двигаться навстречу друг другу, то встреча произойдёт через 2 ч. Если же они будут двигаться в одном направлении, то автомобиль, вышедший из А, догонит автомобиль, вышедший из В, через 14 ч. Какова скорость каждого автомобиля?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_1$ км/ч — скорость автомобиля, вышедшего из пункта А, и $v_2$ км/ч — скорость автомобиля, вышедшего из пункта B. Расстояние между пунктами $S = 280$ км.

Рассмотрим два сценария движения.

1. Движение навстречу друг другу.

Когда автомобили движутся навстречу, их скорости складываются. Такая скорость называется скоростью сближения и равна $v_1 + v_2$. По условию, встреча происходит через $t_1 = 2$ часа. За это время они совместно проходят все расстояние $S$. Составим первое уравнение, используя формулу пути $S = v \cdot t$:

$(v_1 + v_2) \cdot 2 = 280$

Разделим обе части уравнения на 2:

$v_1 + v_2 = 140$

2. Движение в одном направлении.

Когда автомобили движутся в одном направлении, и автомобиль из А догоняет автомобиль из B, их скорость сближения равна разности их скоростей $v_1 - v_2$ (так как автомобиль из А быстрее). По условию, автомобиль из А догонит автомобиль из B через $t_2 = 14$ часов. За это время более быстрый автомобиль должен сократить первоначальное расстояние между ними, которое равно $S$. Составим второе уравнение:

$(v_1 - v_2) \cdot 14 = 280$

Разделим обе части уравнения на 14:

$v_1 - v_2 = 20$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} v_1 + v_2 = 140 \\ v_1 - v_2 = 20 \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения системы, чтобы найти $v_1$:

$(v_1 + v_2) + (v_1 - v_2) = 140 + 20$

$2v_1 = 160$

$v_1 = 80$

Скорость автомобиля, вышедшего из пункта А, равна 80 км/ч.

Теперь подставим найденное значение $v_1$ в первое уравнение, чтобы найти $v_2$:

$80 + v_2 = 140$

$v_2 = 140 - 80$

$v_2 = 60$

Скорость автомобиля, вышедшего из пункта B, равна 60 км/ч.

Ответ: скорость автомобиля, выехавшего из пункта А, — 80 км/ч; скорость автомобиля, выехавшего из пункта B, — 60 км/ч.