Номер 2, страница 202 - гдз по физике 7 класс учебник Пурышева, Важеевская

2. Человек находится от дерева в первом случае на расстоянии 70 м, во втором — 30 м. Сравните углы зрения и размеры изображения в этих случаях. Сделайте соответствующие чертежи.

Дано:

Расстояние от человека до дерева в первом случае: $d_1 = 70$ м

Расстояние от человека до дерева во втором случае: $d_2 = 30$ м

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Сравнить углы зрения $φ_1$ и $φ_2$, а также размеры изображения на сетчатке глаза $h_1$ и $h_2$ в обоих случаях.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся геометрической оптикой, представив глаз как собирающую линзу (хрусталик), а сетчатку — как экран, на котором формируется изображение.

1. Сравнение углов зрения

Угол зрения $φ$ — это угол, под которым виден предмет. Он определяется лучами, идущими от крайних точек предмета через оптический центр глаза. Для малых углов (что справедливо для удаленных объектов) тангенс угла можно заменить самим углом в радианах.

Пусть высота дерева равна $H$. Тогда угол зрения $φ$ можно найти из прямоугольного треугольника, где катетами являются высота дерева $H$ и расстояние до него $d$.

$\tan(φ) \approx φ = \frac{H}{d}$

Найдем углы зрения для обоих случаев:

В первом случае: $φ_1 \approx \frac{H}{d_1} = \frac{H}{70}$

Во втором случае: $φ_2 \approx \frac{H}{d_2} = \frac{H}{30}$

Чтобы сравнить углы, найдем их отношение:

$\frac{φ_2}{φ_1} = \frac{H/d_2}{H/d_1} = \frac{d_1}{d_2} = \frac{70 \text{ м}}{30 \text{ м}} \approx 2.33$

Это означает, что во втором случае, когда человек находится ближе к дереву, угол зрения примерно в 2.33 раза больше, чем в первом случае.

Ответ: Во втором случае угол зрения больше, чем в первом, примерно в 2.33 раза ($φ_2 \approx 2.33 \cdot φ_1$).

2. Сравнение размеров изображения

Размер изображения $h$ на сетчатке глаза связан с размером предмета $H$ через формулу тонкой линзы. Из подобия треугольников (один образован предметом и расстоянием до линзы, второй — изображением и расстоянием от линзы до сетчатки) следует соотношение:

$\frac{h}{H} = \frac{f}{d}$

где $h$ — размер изображения на сетчатке, $H$ — высота дерева, $d$ — расстояние до дерева, $f$ — фокусное расстояние глаза (расстояние от оптического центра до сетчатки), которое мы считаем постоянным.

Отсюда размер изображения: $h = \frac{H \cdot f}{d}$

Найдем размеры изображения для обоих случаев:

В первом случае: $h_1 = \frac{H \cdot f}{d_1} = \frac{H \cdot f}{70}$

Во втором случае: $h_2 = \frac{H \cdot f}{d_2} = \frac{H \cdot f}{30}$

Сравним размеры изображений, найдя их отношение:

$\frac{h_2}{h_1} = \frac{(H \cdot f)/d_2}{(H \cdot f)/d_1} = \frac{d_1}{d_2} = \frac{70 \text{ м}}{30 \text{ м}} \approx 2.33$

Размер изображения на сетчатке прямо пропорционален углу зрения. Следовательно, во втором случае изображение на сетчатке также будет примерно в 2.33 раза больше, чем в первом.

Ответ: Во втором случае размер изображения на сетчатке больше, чем в первом, примерно в 2.33 раза ($h_2 \approx 2.33 \cdot h_1$).

3. Соответствующие чертежи

На чертежах глаз условно показан как линза, а дерево — как стрелка. Показаны ход лучей от крайних точек дерева и формирование перевернутого изображения на сетчатке.

Случай 1: Расстояние $d_1 = 70$ м

Случай 2: Расстояние $d_2 = 30$ м

На чертежах видно, что при меньшем расстоянии до объекта (случай 2) угол зрения $φ_2$ и размер изображения на сетчатке $h_2$ заметно больше, чем угол $φ_1$ и изображение $h_1$ в случае 1.