Номер 1, страница 393 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

На фотографии планетной туманности «Кольцо» (см. рис. Х цветной вклейки) в 1 мм – $2.5''$, расстояние до туманности 700 пк, скорость её расширения 19 км/с. Оцените, сколько лет назад красный гигант начал сбрасывать свою оболочку.

Для решения задачи необходимо знать видимый (угловой) размер туманности, который, согласно условию, должен быть измерен на фотографии (рис. Х). Так как сама фотография отсутствует, воспользуемся типичными астрономическими данными для туманности «Кольцо» (M57). Угловой диаметр её яркой части составляет около $70''-80''$ (угловых секунд). В задаче указан масштаб $1 \text{ мм} = 2.5''$. Примем для расчёта, что видимый диаметр туманности на фото равен 28 мм, что дает угловой диаметр $\alpha = 28 \text{ мм} \times 2.5''/\text{мм} = 70''$. Это значение хорошо согласуется с реальными наблюдениями. Для дальнейших расчетов нам понадобится угловой радиус, который равен половине диаметра.

Дано:

Расстояние до туманности, $D = 700 \text{ пк}$
Скорость расширения, $v = 19 \text{ км/с}$
Предполагаемый угловой диаметр, $\alpha = 70''$
Угловой радиус, $\theta = \frac{\alpha}{2} = 35''$

$D = 700 \text{ пк} \approx 700 \times 3.086 \times 10^{16} \text{ м} \approx 2.16 \times 10^{19} \text{ м}$
$v = 19 \text{ км/с} = 19 \times 10^3 \text{ м/с}$
$\theta = 35'' = 35 \text{ угл. сек.} \times \frac{\pi}{180 \times 3600} \frac{\text{рад}}{\text{угл. сек.}} \approx 1.697 \times 10^{-4} \text{ рад}$

Найти:

Время, прошедшее с момента сброса оболочки (возраст туманности), $t$.

Решение:

Чтобы оценить возраст туманности, необходимо сначала определить её реальный линейный радиус $R$. Затем, зная скорость расширения $v$, можно рассчитать время $t$, за которое оболочка достигла этого радиуса. Будем предполагать, что скорость расширения с момента её сброса была постоянной.

1. Найдём линейный радиус туманности $R$. Он вычисляется по формуле для малых углов, которая связывает линейный размер, расстояние до объекта $D$ и его угловой радиус $\theta$ (выраженный в радианах):
$R = D \times \theta$
Подставим числовые значения в системе СИ:
$R = (2.16 \times 10^{19} \text{ м}) \times (1.697 \times 10^{-4} \text{ рад}) \approx 3.665 \times 10^{15} \text{ м}$.

2. Теперь, зная радиус $R$ и скорость расширения $v$, найдём возраст туманности $t$ по формуле равномерного движения:
$t = \frac{R}{v}$
Подставим значения:
$t = \frac{3.665 \times 10^{15} \text{ м}}{19 \times 10^3 \text{ м/с}} \approx 1.929 \times 10^{11} \text{ с}$.

3. Для наглядности переведём полученное время из секунд в годы. Примем, что в одном году содержится $365.25$ суток, то есть примерно $3.156 \times 10^7$ секунд.
$t_{\text{лет}} = \frac{1.929 \times 10^{11} \text{ с}}{3.156 \times 10^7 \text{ с/год}} \approx 6112 \text{ лет}$.
Округлим результат для итоговой оценки.

Ответ: согласно оценке, красный гигант начал сбрасывать свою оболочку примерно 6100 лет назад.