Страница 415 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ³

№ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ МАЯТНИКА

Цель работы: определить ускорение свободного падения при помощи маятника, оценить возможность и точность измерения ускорения данным способом.

Оборудование: часы с секундной стрелкой, измерительная лента с погрешностью $\Delta_л = 0,5$ см, шарик с отверстием, нить, штатив с муфтой и кольцом.

Порядок выполнения работы

1. Установите на краю стола штатив. У его верхнего конца укрепите с помощью муфты кольцо и подвесьте к нему шарик на нити. Шарик должен висеть на расстоянии 1—2 см от пола.

2. Измерьте лентой длину $l$ маятника (длина маятника должна быть не менее 50 см).

3. Возбудите колебания маятника, отклонив шарик в сторону на 5—8 см и отпустив его.

4. Измерьте в нескольких экспериментах время $t$ 50 колебаний маятника и вычислите $t_{cp}$: $t_{cp} = \frac{t_1 + t_2 + t_3 + ... + t_n}{n}$, где $n$ — число опытов по измерению времени.

5. Вычислите среднюю абсолютную погрешность измерения времени:

$\Delta t_{cp} = \frac{|t_1 - t_{cp}| + |t_2 - t_{cp}| + |t_3 - t_{cp}| + ... + |t_n - t_{cp}|}{n}$

и результаты занесите в таблицу (таблицу сделайте в тетради).

Заголовки таблицы: Номер опыта, t, c, t_cp, c, t, c, t_cp, c, l, м

6. Вычислите ускорение свободного падения по формуле $g_{cp} = 4\pi^2 \frac{lN^2}{t_{cp}^2}$.

7. Определите относительную погрешность измерения времени $\varepsilon_t$.

8. Определите относительную погрешность измерения длины маятника $\varepsilon_l = \frac{\Delta l}{l}$. Значение $\Delta l$ складывается из погрешности измерительной ленты и погрешности отсчёта, равной половине цены деления ленты: $\Delta l = \Delta l_л + \Delta l_{отсч}$.

9. Вычислите относительную погрешность измерения $g$ по формуле

$\varepsilon_g = \varepsilon_l + 2\varepsilon_\pi + 2\varepsilon_t$,

учитывая, что погрешностью округления $\pi$ можно пренебречь, если $\pi = 3,14$; также можно пренебречь $\varepsilon_l$, если она в 4 раза (и более) меньше $2\varepsilon_t$.

10. Определите $\Delta g = \varepsilon_g g_{cp}$ и запишите результат измерения в виде

$g_{cp} - \Delta g \le g \le g_{cp} + \Delta g$.

Убедитесь в достоверности измерений и проверьте принадлежность известного значения $g$ полученному интервалу.

Для выполнения расчетов примем следующие экспериментальные данные, полученные в ходе выполнения работы.

Дано:

Перевод в систему СИ:

Найти:

Решение:

1. Установите на краю стола штатив. У его верхнего конца укрепите с помощью муфты кольцо и подвесьте к нему шарик на нити. Шарик должен висеть на расстоянии 1–2 см от пола.

Экспериментальная установка собрана в соответствии с инструкцией.

Ответ: Установка собрана.

2. Измерьте лентой длину 𝑙 маятника (длина маятника должна быть не менее 50 см).

Длина маятника была измерена и составила $l = 60 \text{ см}$, что удовлетворяет условию.

Ответ: $l = 0,6 \text{ м}$.

3. Возбудите колебания маятника, отклонив шарик в сторону на 5–8 см и отпустив его.

Колебания маятника возбуждены с малой амплитудой для того, чтобы модель математического маятника была применима.

Ответ: Колебания возбуждены.

4. Измерьте в нескольких экспериментах время t 50 колебаний маятника и вычислите t_cp: $t_{cp} = \frac{t_1 + t_2 + t_3 + ... + t_n}{n}$, где n — число опытов по измерению времени.

Проведено $n=3$ опыта. Результаты измерений: $t_1 = 77,3 \text{ с}$, $t_2 = 77,8 \text{ с}$, $t_3 = 77,4 \text{ с}$.
Вычисляем среднее время $t_{cp}$:
$t_{cp} = \frac{77,3 + 77,8 + 77,4}{3} = \frac{232,5}{3} = 77,5 \text{ с}$.

Ответ: $t_{cp} = 77,5 \text{ с}$.

5. Вычислите среднюю абсолютную погрешность измерения времени: $\Delta t_{cp} = \frac{|t_1 - t_{cp}| + |t_2 - t_{cp}| + ... + |t_n - t_{cp}|}{n}$ и результаты занесите в таблицу (таблицу сделайте в тетради).

Вычисляем абсолютные отклонения для каждого измерения:
$|t_1 - t_{cp}| = |77,3 - 77,5| = 0,2 \text{ с}$
$|t_2 - t_{cp}| = |77,8 - 77,5| = 0,3 \text{ с}$
$|t_3 - t_{cp}| = |77,4 - 77,5| = 0,1 \text{ с}$
Вычисляем среднюю абсолютную погрешность:
$\Delta t_{cp} = \frac{0,2 + 0,3 + 0,1}{3} = \frac{0,6}{3} = 0,2 \text{ с}$.
Занесем данные в таблицу (формат таблицы адаптирован для ясности представления результатов одного комплексного опыта):

Ответ: $\Delta t_{cp} = 0,2 \text{ с}$. Результаты занесены в таблицу.

6. Вычислите ускорение свободного падения по формуле $g_{cp} = 4\pi^2 \frac{l N^2}{t_{cp}^2}$.

Подставляем значения в формулу:
$g_{cp} = 4 \cdot (3,14)^2 \frac{0,6 \text{ м} \cdot 50^2}{(77,5 \text{ с})^2} = 4 \cdot 9,8596 \cdot \frac{0,6 \cdot 2500}{6006,25} \approx 39,4384 \cdot \frac{1500}{6006,25} \approx 9,850 \text{ м/с}^2$.

Ответ: $g_{cp} \approx 9,85 \text{ м/с}^2$.

7. Определите относительную погрешность измерения времени $\varepsilon_t$.

Относительная погрешность измерения времени вычисляется как отношение средней абсолютной погрешности ко среднему значению времени:
$\varepsilon_t = \frac{\Delta t_{cp}}{t_{cp}} = \frac{0,2 \text{ с}}{77,5 \text{ с}} \approx 0,00258$.

Ответ: $\varepsilon_t \approx 0,00258$.

8. Определите относительную погрешность измерения длины маятника $\varepsilon_l = \frac{\Delta l}{l}$. Значение $\Delta l$ складывается из погрешности измерительной ленты и погрешности отсчёта, равной половине цены деления ленты: $\Delta l = \Delta l_л + \Delta l_{отсч}$.

Погрешность отсчета $\Delta l_{отсч}$ равна половине цены деления ленты ($1 \text{ мм}$):
$\Delta l_{отсч} = \frac{1 \text{ мм}}{2} = 0,5 \text{ мм} = 0,0005 \text{ м}$.
Суммарная абсолютная погрешность измерения длины $\Delta l$:
$\Delta l = \Delta l_л + \Delta l_{отсч} = 0,005 \text{ м} + 0,0005 \text{ м} = 0,0055 \text{ м}$.
Относительная погрешность измерения длины $\varepsilon_l$:
$\varepsilon_l = \frac{\Delta l}{l} = \frac{0,0055 \text{ м}}{0,6 \text{ м}} \approx 0,00917$.

Ответ: $\varepsilon_l \approx 0,00917$.

9. Вычислите относительную погрешность измерения g по формуле $\varepsilon_g = \varepsilon_l + 2\varepsilon_\pi + 2\varepsilon_t$, учитывая, что погрешностью округления $\pi$ можно пренебречь, если $\pi = 3,14$; также можно пренебречь $\varepsilon_l$, если она в 4 раза (и более) меньше $2\varepsilon_t$.

Пренебрегаем погрешностью числа $\pi$, как указано в условии. Формула принимает вид: $\varepsilon_g = \varepsilon_l + 2\varepsilon_t$.
Проверим, можно ли пренебречь $\varepsilon_l$. Для этого сравним $\varepsilon_l$ и $2\varepsilon_t$:
$2\varepsilon_t = 2 \cdot 0,00258 = 0,00516$.
$\varepsilon_l = 0,00917$.
Так как $0,00917$ не является в 4 раза меньшим, чем $0,00516$, пренебрегать $\varepsilon_l$ нельзя.
Вычисляем относительную погрешность $\varepsilon_g$:
$\varepsilon_g = \varepsilon_l + 2\varepsilon_t = 0,00917 + 0,00516 = 0,01433$.

Ответ: $\varepsilon_g \approx 0,01433$.

10. Определите $\Delta g = \varepsilon_g g_{cp}$ и запишите результат измерения в виде $g_{cp} - \Delta g \le g \le g_{cp} + \Delta g$.

Вычисляем абсолютную погрешность измерения $g$:
$\Delta g = \varepsilon_g \cdot g_{cp} = 0,01433 \cdot 9,85 \text{ м/с}^2 \approx 0,141 \text{ м/с}^2$.
Округлим значение погрешности до двух значащих цифр (т.к. первая цифра - 1): $\Delta g \approx 0,14 \text{ м/с}^2$.
Значение $g_{cp}$ округляем до того же десятичного разряда, что и погрешность: $g_{cp} = 9,85 \text{ м/с}^2$.
Окончательный результат: $g = g_{cp} \pm \Delta g = (9,85 \pm 0,14) \text{ м/с}^2$.
Запишем результат в виде интервала:
$9,85 - 0,14 \le g \le 9,85 + 0,14$
$9,71 \text{ м/с}^2 \le g \le 9,99 \text{ м/с}^2$.

Ответ: $g = (9,85 \pm 0,14) \text{ м/с}^2$, или $9,71 \text{ м/с}^2 \le g \le 9,99 \text{ м/с}^2$.

Убедитесь в достоверности измерений и проверьте принадлежность известного значения g полученному интервалу.

Табличное значение ускорения свободного падения составляет $g_{табл} \approx 9,81 \text{ м/с}^2$. Проверим, входит ли это значение в полученный нами доверительный интервал:
$9,71 \text{ м/с}^2 \le 9,81 \text{ м/с}^2 \le 9,99 \text{ м/с}^2$.
Неравенство выполняется.

Ответ: Измерения достоверны, так как табличное значение ускорения свободного падения $g_{табл} \approx 9,81 \text{ м/с}^2$ принадлежит полученному экспериментальному интервалу.