Страница 419 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ⁶

№ 6. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ

Цель работы: получить дифракционный спектр и определить длину волны света.

Оборудование: дифракционная решётка 1 в держателе 2, линейка 3, по которой может перемещаться экран 4 с узкой щелью 5 посередине, на экране линейка с миллиметровыми делениями (рис. Л.9). Установка крепится на штативе 6. За экраном находится источник света.

Порядок выполнения работы

1. Соберите установку согласно рисунку Л.9. Экран должен находиться на расстоянии 50 см от решётки.

2. Убедитесь в том, что если смотреть сквозь решётку и прорезь в экране на источник света, то на чёрном фоне экрана наблюдаются дифракционные спектры первого и второго порядков. Если картина смещена, то, перемещая решётку в держателе, установите её так, чтобы дифракционные спектры были параллельны шкале экрана.

3. Составьте самостоятельно таблицу, куда вы будете заносить значения измеренных величин.

4. Измерьте расстояния, равные $2x$, между линиями сначала красного, а затем фиолетового цвета в спектре первого порядка.

5. Измерьте расстояние $l$ от дифракционной решётки до экрана.

6. Занесите в таблицу период $d$ дифракционной решётки (он указан на самой решётке).

7. Вычислите длину волны красного цвета в спектре первого порядка справа и слева от щели в экране, определите среднее значение результатов измерений.

8. Повторите то же для фиолетового цвета.

9. Сравните полученные результаты с длинами волн красного и фиолетового цвета на рисунке V, 1 цветной вклейки.

Рисунок Л.9

Контрольный вопрос

Чем отличается дифракционный спектр от дисперсионного?

Для выполнения расчетов по пунктам 7 и 8 лабораторной работы необходимо иметь экспериментальные данные. Поскольку они не предоставлены, проведем расчеты с использованием типичных для данного эксперимента значений.

Вычисление длины волны красного и фиолетового света

Дано:

Для проведения расчетов примем следующие измеренные и известные значения:

• Период дифракционной решетки (указан на решетке, например, 100 штрихов/мм): $d = \frac{1 \text{ мм}}{100} = 0.01 \text{ мм} = 1 \cdot 10^{-5} \text{ м}$
• Расстояние от решетки до экрана (по пункту 1): $l = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$
• Расстояние между красными линиями в спектре первого порядка: $X_{кр} = 2x_{кр} = 7.0 \text{ см} = 0.07 \text{ м}$
• Расстояние между фиолетовыми линиями в спектре первого порядка: $X_{фиол} = 2x_{фиол} = 4.0 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

• Длину волны красного света: $\lambda_{кр}$
• Длину волны фиолетового света: $\lambda_{фиол}$

Решение:

Условие для максимумов дифракционной решетки имеет вид:

$d \sin\varphi_k = k\lambda$

где $d$ — период решетки, $\varphi_k$ — угол, под которым наблюдается максимум $k$-го порядка, $\lambda$ — длина волны света.

В данной работе рассматривается спектр первого порядка, поэтому $k=1$.

Из геометрии установки (см. рис. Л.9) видно, что угол $\varphi_1$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного расстоянием до экрана $l$ и смещением максимума от центра $x$.

$\tan\varphi_1 = \frac{x}{l}$

Для малых углов, что обычно справедливо в данном опыте, можно принять $\sin\varphi_1 \approx \tan\varphi_1 = \frac{x}{l}$.

Тогда формула для расчета длины волны принимает вид:

$d \frac{x}{l} = \lambda \implies \lambda = \frac{d \cdot x}{l}$

Поскольку измеряется расстояние $X$ между двумя максимумами первого порядка (справа и слева от центра), то $X = 2x$, откуда $x = \frac{X}{2}$.

Подставив это в формулу, получаем окончательную расчетную формулу:

$\lambda = \frac{d \cdot X}{2l}$

Теперь проведем вычисления для красного и фиолетового света.

1. Вычисление длины волны красного света:

$\lambda_{кр} = \frac{d \cdot X_{кр}}{2l} = \frac{1 \cdot 10^{-5} \text{ м} \cdot 0.07 \text{ м}}{2 \cdot 0.5 \text{ м}} = \frac{0.07 \cdot 10^{-5}}{1} \text{ м} = 7 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 700 \text{ нм}$

2. Вычисление длины волны фиолетового света:

$\lambda_{фиол} = \frac{d \cdot X_{фиол}}{2l} = \frac{1 \cdot 10^{-5} \text{ м} \cdot 0.04 \text{ м}}{2 \cdot 0.5 \text{ м}} = \frac{0.04 \cdot 10^{-5}}{1} \text{ м} = 4 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 400 \text{ нм}$

Результаты измерений и вычислений занесем в таблицу, как того требует пункт 3 методических указаний.

Ответ: На основе принятых экспериментальных данных, вычисленная длина волны для красного света составляет $700 \text{ нм}$, а для фиолетового света — $400 \text{ нм}$.

Чем отличается дифракционный спектр от дисперсионного?

Дифракционный и дисперсионный спектры — это оба результаты разложения белого света в радужную полосу, но они возникают из-за разных физических явлений и имеют ряд существенных отличий.

1. Физическое явление в основе.

Дисперсионный спектр (например, от призмы) возникает из-за явления дисперсии — зависимости показателя преломления вещества от длины волны (частоты) света. Свет с разной длиной волны преломляется под разными углами.

Дифракционный спектр (от дифракционной решетки) возникает в результате дифракции (огибания светом препятствий) и последующей интерференции световых волн от разных щелей решетки.

2. Порядок расположения цветов.

В дисперсионном спектре сильнее всего отклоняется фиолетовый свет (имеющий наименьшую длину волны), а слабее всего — красный (с наибольшей длиной волны). Порядок цветов: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый.

В дифракционном спектре, наоборот, сильнее всего отклоняется красный свет, а слабее всего — фиолетовый. Это следует из формулы $d \sin\varphi = k\lambda$, где угол отклонения $\varphi$ прямо пропорционален длине волны $\lambda$. Порядок цветов обратный: фиолетовый, синий, ..., красный.

3. Количество спектров и центральный максимум.

Призма дает только один дисперсионный спектр.

Дифракционная решетка дает несколько спектров, симметрично расположенных по обе стороны от центральной полосы. Эти спектры называют спектрами первого, второго и т.д. порядков. В центре (под углом $0^\circ$) наблюдается яркая белая полоса — центральный (нулевой) максимум, где свет всех длин волн не отклоняется.

4. Характер спектра.

Дисперсионный спектр является нерациональным (нелинейным). Это означает, что его фиолетовая часть растянута гораздо сильнее, чем красная. Расстояние между линиями в спектре не пропорционально разности длин волн.

Дифракционный спектр является практически рациональным (линейным), особенно для малых углов дифракции. Положение спектральной линии на экране примерно пропорционально длине волны ($x \approx \frac{l k \lambda}{d}$), что делает его удобным для точных измерений длин волн.

Ответ: Дифракционный спектр отличается от дисперсионного:
1) физической природой (дифракция и интерференция против дисперсии);
2) обратным порядком цветов (в дифракционном спектре красный отклоняется сильнее, в дисперсионном — слабее);
3) наличием нескольких порядков спектра и белого центрального максимума у дифракционного спектра;
4) линейностью (дифракционный спектр почти линеен, в отличие от нелинейного дисперсионного).

ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ⁷

№ 7. ОЦЕНКА ИНФОРМАЦИОННОЙ ЁМКОСТИ КОМПАКТ-ДИСКА (CD)

Цель работы: оценить объём информации, содержащейся на компакт-диске (CD).

Теоретическая часть

На применяемых в компьютерах компакт-дисках информация записывается в виде тёмных меток (углублений), расположенных на витках спирали. При этом витки спирали тесно примыкают друг к другу так, что каждый участок диска представляет собой практически дифракционную решётку. Определив расстояние между дорожками и зная среднюю длину дорожки, а также ширину участка диска, на котором произведена запись, можно оценить количество содержащейся в нём информации. При этом следует допустить, что расстояние между тёмными метками имеет то же значение, что и расстояние между дорожками. Для определения этого расстояния можно рассмотреть дифракционный спектр, полученный в отражённом свете от дифракционной решётки, образованной дорожками на поверхности диска. При этом удобно использовать монохроматический источник света — бытовой лазер или лазерную указку. Направив луч лазера на край диска, можно наблюдать несколько дифракционных максимумов (рис. Л.10).

Рис. Л.10

Оборудование: компакт-диск (CD), пластилин, лазерная указка, лист бумаги, линейка с миллиметровой шкалой, карандаш.

Порядок выполнения работы

1. Составьте таблицу и записывайте в неё результаты измерений, а также длину волны лазерного луча (обычно $\lambda = 0,6 \text{ мкм}$).

2. С помощью пластилина закрепите диск на столе таким образом, чтобы плоскость диска была перпендикулярна плоскости стола.

3. Разместите лазерную указку на стопке тетрадей так, чтобы лазерный луч был параллелен столу, направлен перпендикулярно диску и попадал на его рабочую поверхность. Расстояние между выходным окном лазера и диском должно быть 100—150 мм.

4. Поместите лист бумаги за лазером и наблюдайте световые пятна, соответствующие различным порядкам дифракции.

5. Проделайте в бумаге маленькое отверстие. Поместите лист бумаги на пути луча. Лазерный луч должен проходить через отверстие и на бумаге должны появиться два симметричных пятна, соответствующие спектру первого порядка.

6. Отметьте карандашом положения этих пятен.

7. Измерьте расстояние $2l$ между этими пятнами (см. рис. Л.10).

8. Измерьте расстояние $L$ между листом бумаги и диском.

9. Вычислите синус угла, соответствующий первому порядку дифракции:

$\sin \alpha = \frac{l}{\sqrt{l^2 + L^2}}.$

10. Вычислите период решётки: $d = \frac{\lambda}{\sin \alpha}.$

11. Измерьте линейкой ширину $r$ рабочей зоны диска, т. е. ширину зеркальной зоны, и вычислите число дорожек на диске: $N_1 = r/d.$

12. Определите средний радиус зеркальной зоны — от центра до середины зеркальной поверхности: $R_{cp} = (R_1 + R_2)/2$, где $R_1$ и $R_2$ — малый и большой радиусы зеркальной зоны диска.

13. Вычислите среднее количество информационных меток на дорожке: $N_2 = 2 \pi R_{cp}/d.$

14. Определите объём информации на диске — число бит: $N_b = N_1 N_2.$

В этой работе не имеет смысла рассчитывать погрешности, так как вы выполнили только приблизительную оценку объёма записанной на диске информации.

Рекомендация. Такой же способ оценки объёма информации можно использовать и для DVD. Вы можете это сделать и сравнить объёмы информации, записанной на разных дисках.

Контрольный вопрос

Сравните полученное значение со стандартным объёмом информации, записываемой на подобном диске. За счёт чего у вас получилось другое значение?

Для выполнения расчетов примем гипотетические результаты измерений, полученные в ходе эксперимента, а также стандартные параметры компакт-диска.

Дано:

Длина волны лазера: $ \lambda = 0,6 \text{ мкм} $
Расстояние от диска до экрана: $ L = 120 \text{ мм} $
Расстояние между дифракционными максимумами первого порядка: $ 2l = 98 \text{ мм} $
Внутренний радиус рабочей зоны диска (стандартное значение): $ R_1 = 23 \text{ мм} $
Внешний радиус рабочей зоны диска (стандартное значение): $ R_2 = 58 \text{ мм} $

Переведем все данные в систему СИ:
$ \lambda = 0,6 \times 10^{-6} \text{ м} $
$ L = 120 \text{ мм} = 0,12 \text{ м} $
$ 2l = 98 \text{ мм} = 0,098 \text{ м} \implies l = 0,049 \text{ м} $
$ R_1 = 23 \text{ мм} = 0,023 \text{ м} $
$ R_2 = 58 \text{ мм} = 0,058 \text{ м} $

Найти:

$ d $ - период решётки (расстояние между дорожками),
$ N_1 $ - число дорожек на диске,
$ R_{ср} $ - средний радиус рабочей зоны,
$ N_2 $ - среднее количество информационных меток на дорожке,
$ N_b $ - объём информации на диске в битах, а также в мегабайтах (МБ).

Решение:

9. Вычислите синус угла, соответствующий первому порядку дифракции
Для вычисления синуса угла $ \alpha $ используем геометрические соотношения из схемы эксперимента (рис. Л.10): $ \sin \alpha = \frac{l}{\sqrt{l^2 + L^2}} $ Подставляем наши значения: $ \sin \alpha = \frac{0,049}{\sqrt{0,049^2 + 0,12^2}} = \frac{0,049}{\sqrt{0,002401 + 0,0144}} = \frac{0,049}{\sqrt{0,016801}} \approx \frac{0,049}{0,1296} \approx 0,3781 $
Ответ: $ \sin \alpha \approx 0,3781 $.

10. Вычислите период решётки: $ d = \lambda / \sin \alpha $
Период дифракционной решётки $ d $, образованной дорожками на диске, связан с длиной волны $ \lambda $ и углом дифракции $ \alpha $ для максимума первого порядка формулой $ d \sin \alpha = \lambda $. Отсюда: $ d = \frac{\lambda}{\sin \alpha} = \frac{0,6 \times 10^{-6} \text{ м}}{0,3781} \approx 1,587 \times 10^{-6} \text{ м} $
Ответ: Период решётки $ d \approx 1,59 \text{ мкм} $.

11. Измерьте линейкой ширину r рабочей зоны диска, т. е. ширину зеркальной зоны, и вычислите число дорожек на диске: $ N_1 = r/d $
Ширина рабочей зоны $ r $ равна разности внешнего и внутреннего радиусов: $ r = R_2 - R_1 = 58 \text{ мм} - 23 \text{ мм} = 35 \text{ мм} = 0,035 \text{ м} $ Число дорожек $ N_1 $ — это отношение ширины рабочей зоны к расстоянию между дорожками $ d $: $ N_1 = \frac{r}{d} = \frac{0,035 \text{ м}}{1,587 \times 10^{-6} \text{ м}} \approx 22054 $
Ответ: Число дорожек на диске $ N_1 \approx 22054 $.

12. Определите средний радиус зеркальной зоны: $ R_{ср} = (R_1 + R_2)/2 $
$ R_{ср} = \frac{R_1 + R_2}{2} = \frac{23 \text{ мм} + 58 \text{ мм}}{2} = \frac{81 \text{ мм}}{2} = 40,5 \text{ мм} = 0,0405 \text{ м} $
Ответ: Средний радиус зеркальной зоны $ R_{ср} = 40,5 \text{ мм} $.

13. Вычислите среднее количество информационных меток на дорожке: $ N_2 = 2\pi R_{ср}/d $
В рамках данной модели принимается, что расстояние между информационными метками (питами) вдоль дорожки равно расстоянию между дорожками $ d $. Тогда среднее число меток на воображаемой средней дорожке равно её длине, делённой на $ d $: $ N_2 = \frac{2\pi R_{ср}}{d} = \frac{2 \times 3,14159 \times 0,0405 \text{ м}}{1,587 \times 10^{-6} \text{ м}} \approx \frac{0,25447 \text{ м}}{1,587 \times 10^{-6} \text{ м}} \approx 160346 $
Ответ: Среднее количество информационных меток на дорожке $ N_2 \approx 160346 $.

14. Определите объём информации на диске — число бит: $ N_b = N_1 N_2 $
Общее число информационных меток (бит, в рамках модели) на диске равно произведению числа дорожек на среднее число меток на дорожке: $ N_b = N_1 \times N_2 = 22054 \times 160346 \approx 3,536 \times 10^9 \text{ бит} $ Переведем это значение в байты и мегабайты: $ N_{байт} = \frac{N_b}{8} = \frac{3,536 \times 10^9}{8} \approx 4,42 \times 10^8 \text{ байт} $ $ N_{МБ} = \frac{N_{байт}}{1024 \times 1024} = \frac{4,42 \times 10^8}{1048576} \approx 421,5 \text{ МБ} $
Ответ: Объём информации на диске $ N_b \approx 3,54 \times 10^9 \text{ бит} $, что составляет примерно $ 422 \text{ МБ} $.

Контрольный вопрос

Сравните полученное значение со стандартным объёмом информации, записываемой на подобном диске. За счёт чего у вас получилось другое значение?
Полученное значение информационной ёмкости CD-диска составляет примерно 422 МБ. Стандартная ёмкость CD-диска для данных (CD-ROM) составляет около 700 МБ. Таким образом, расчётное значение значительно меньше стандартного.
Расхождение обусловлено несколькими причинами, в основном связанными с упрощениями, принятыми в расчётной модели:
1. Главное упрощение: В модели предполагалось, что линейный размер информационной метки (пита) вдоль дорожки равен расстоянию между дорожками ($ d \approx 1,6 \text{ мкм} $). В действительности, минимальная длина пита на CD составляет около $ 0,833 \text{ мкм} $. Это означает, что плотность записи информации вдоль дорожки почти в два раза выше, чем предполагалось в модели. Использование этого неверного допущения является основной причиной заниженного результата.
2. Кодирование информации: Модель исходит из того, что одна информационная метка кодирует один бит информации. На самом деле для записи на CD используется модуляция EFM (Eight-to-Fourteen Modulation), при которой каждые 8 бит пользовательских данных преобразуются в 14 бит для записи на диск, к которым добавляются еще 3 служебных бита. Это приводит к тому, что физических меток на диске значительно больше, чем бит в исходных данных.
3. Служебная информация: Значительная часть дискового пространства (около 15-20%) занята служебной информацией: кодами коррекции ошибок (коды Рида-Соломона), данными для синхронизации, таблицей содержания и файловой системой. Эти данные необходимы для надёжного считывания, но не являются частью полезного объёма. Наш расчёт оценивает общую "сырую" ёмкость, не учитывая это.
4. Погрешности измерений: Неточности при измерении расстояний $ L $ и $ 2l $ с помощью линейки, а также возможное отклонение длины волны лазера от принятого значения $ \lambda=0,6 \text{ мкм} $ также вносят свой вклад в итоговую погрешность.
Таким образом, использованный метод дает лишь грубую оценку информационной ёмкости, но позволяет продемонстрировать дифракционные явления и получить представление о порядке величин, характеризующих структуру CD-диска.
Ответ: Расчётное значение (422 МБ) меньше стандартного (700 МБ) в основном из-за некорректного предположения о том, что размер информационной метки равен шагу дорожек, а также из-за игнорирования особенностей кодирования данных и наличия большого объёма служебной информации на диске.