Номер 2, страница 186 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

2. Ряд физических свойства графена даны в таблице. Используя необходимые данные, определите: массу нанотрубки диаметром 1 нм, длиной 1 мкм. Оцените силу, которую необходимо приложить, чтобы разорвать трубку.

Постоянная решетки 0,246 нм

Поверхностная плотность 0,77 мг/м$^{\text{2}}$

Модуль Юнга 1 ТПа

Теплопроводность $5,1 \cdot 10^{\text{3}}$ Вт/(м $\cdot$ К)

Оптическая проницаемость 0,977

Дано:

Диаметр нанотрубки, $d = 1 \text{ нм} = 1 \cdot 10^{-9} \text{ м}$
Длина нанотрубки, $L = 1 \text{ мкм} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ м}$
Поверхностная плотность графена, $\rho_S = 0,77 \text{ мг/м²} = 0,77 \cdot 10^{-6} \text{ кг/м²}$
Модуль Юнга графена, $E = 1 \text{ ТПа} = 1 \cdot 10^{12} \text{ Па}$

Найти:

Массу нанотрубки $\text{m}$, силу разрыва $\text{F}$.

Решение:

1. Определение массы нанотрубки

Нанотрубку можно представить как свернутый в цилиндр лист графена. Ее масса $\text{m}$ равна произведению поверхностной плотности $\rho_S$ на площадь поверхности трубки $\text{S}$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

$S = \pi d L$

где $\text{d}$ - диаметр, а $\text{L}$ - длина трубки.

Тогда масса нанотрубки:

$m = \rho_S \cdot S = \rho_S \cdot \pi d L$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$m = (0,77 \cdot 10^{-6} \text{ кг/м²}) \cdot \pi \cdot (1 \cdot 10^{-9} \text{ м}) \cdot (1 \cdot 10^{-6} \text{ м})$

$m \approx 2,419 \cdot 10^{-21} \text{ кг}$

Ответ: Масса нанотрубки составляет примерно $m \approx 2,42 \cdot 10^{-21} \text{ кг}$.

2. Оценка силы, необходимой для разрыва трубки

Сила, необходимая для разрыва, $\text{F}$, связана с пределом прочности материала $\sigma_{пред}$ и площадью поперечного сечения $S_{поп}$, на которое действует сила:

$F = \sigma_{пред} \cdot S_{поп}$

Предел прочности связан с модулем Юнга $\text{E}$ через относительное удлинение при разрыве $\epsilon_{пред}$:

$\sigma_{пред} = E \cdot \epsilon_{пред}$

Для оценки необходимо сделать два допущения:

1. Относительное удлинение при разрыве для идеальных углеродных нанотрубок составляет примерно 15-20%. Примем $\epsilon_{пред} \approx 0,15$.

2. Площадь поперечного сечения $S_{поп}$ для однослойной нанотрубки определяется как длина окружности $\pi d$, умноженная на эффективную толщину стенки $\text{t}$. В качестве $\text{t}$ обычно принимают межслоевое расстояние в графите, $t \approx 0,34 \text{ нм} = 0,34 \cdot 10^{-9} \text{ м}$.

Найдем площадь поперечного сечения:

$S_{поп} = \pi d t = \pi \cdot (1 \cdot 10^{-9} \text{ м}) \cdot (0,34 \cdot 10^{-9} \text{ м}) \approx 1,068 \cdot 10^{-18} \text{ м²}$

Теперь оценим предел прочности:

$\sigma_{пред} = E \cdot \epsilon_{пред} = (1 \cdot 10^{12} \text{ Па}) \cdot 0,15 = 1,5 \cdot 10^{11} \text{ Па}$

Наконец, оценим разрывную силу:

$F = \sigma_{пред} \cdot S_{поп} = (1,5 \cdot 10^{11} \text{ Па}) \cdot (1,068 \cdot 10^{-18} \text{ м²}) \approx 1,602 \cdot 10^{-7} \text{ Н}$

Эту величину можно выразить в наноньютонах: $1,602 \cdot 10^{-7} \text{ Н} = 160,2 \text{ нН}$.

Ответ: Сила, которую необходимо приложить, чтобы разорвать трубку, составляет примерно $F \approx 1,6 \cdot 10^{-7} \text{ Н}$ (или 160 нН).