Задание 2, страница 191 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 2

1. Докажите, что абсолютная звездная величина Солнца равна 5. Примите видимую звездную величину равной $m = -26,6$.

2. Определите светимость $\text{S}$ Золотой Рыбы в ваттах.

1. Для доказательства воспользуемся формулой, связывающей видимую звездную величину ($\text{m}$), абсолютную звездную величину ($\text{M}$) и расстояние до звезды ($\text{d}$) в парсеках.

Дано:

Видимая звездная величина Солнца: $m = -26.6$
Расстояние от Земли до Солнца: $d = 1 \text{ а.е.}$ (астрономическая единица)

Переведем расстояние в систему, используемую в формуле (парсеки):
1 парсек (пк) по определению равен расстоянию, с которого средний радиус земной орбиты (1 а.е.) виден под углом в 1 угловую секунду. $1 \text{ пк} \approx 206265 \text{ а.е.}$
Следовательно, расстояние до Солнца в парсеках:
$d = \frac{1}{206265} \text{ пк} \approx 4.848 \cdot 10^{-6} \text{ пк}$

Найти:

Абсолютную звездную величину Солнца ($\text{M}$).

Решение:

Абсолютная звездная величина — это видимая звездная величина, которую имел бы объект, если бы находился на стандартном расстоянии 10 парсеков. Связь между величинами описывается формулой модуля расстояния:
$M = m + 5 - 5\lg(d)$, где $\text{d}$ — расстояние в парсеках.
Подставим известные значения в формулу:
$M = -26.6 + 5 - 5\lg(\frac{1}{206265})$
Используя свойство логарифма $\lg(1/x) = -\lg(x)$, получим:
$M = -21.6 + 5\lg(206265)$
Вычислим значение логарифма:
$\lg(206265) \approx 5.3144$
Теперь можем вычислить $\text{M}$:
$M \approx -21.6 + 5 \cdot 5.3144 = -21.6 + 26.572 = 4.972$
Полученное значение $M \approx 4.972$ очень близко к 5. Небольшое расхождение объясняется использованием округленного значения видимой звездной величины Солнца в условии задачи ($m = -26.6$ вместо более точного $m \approx -26.74$). Таким образом, можно считать доказанным, что абсолютная звездная величина Солнца примерно равна 5.

Ответ: Расчет показывает, что абсолютная звездная величина Солнца при заданных условиях составляет $M \approx 4.97$, что доказывает утверждение о ее примерном равенстве 5.

2. Для определения светимости звезды S Золотой Рыбы (S Doradus) необходимо использовать данные о ее абсолютной болометрической звездной величине, так как эта информация отсутствует в условии задачи. S Doradus — одна из самых ярких известных звезд, и для расчетов мы примем ее среднюю абсолютную болометрическую величину, известную из астрономических наблюдений.

Дано:

Абсолютная болометрическая звездная величина S Золотой Рыбы (принятое значение): $M_{\text{S Dor}} = -9.8$
Абсолютная болометрическая звездная величина Солнца (справочное значение): $M_{\odot} = +4.74$
Светимость Солнца (справочное значение): $L_{\odot} = 3.828 \cdot 10^{26} \text{ Вт}$

Найти:

Светимость S Золотой Рыбы ($L_{\text{S Dor}}$) в ваттах.

Решение:

Связь между светимостью ($\text{L}$) и абсолютной болометрической звездной величиной ($\text{M}$) для двух звезд выражается формулой Погсона:
$M_{\text{S Dor}} - M_{\odot} = -2.5\lg(\frac{L_{\text{S Dor}}}{L_{\odot}})$
Выразим из этой формулы искомую светимость $L_{\text{S Dor}}$:
$\frac{L_{\text{S Dor}}}{L_{\odot}} = 10^{\frac{M_{\odot} - M_{\text{S Dor}}}{2.5}}$
$L_{\text{S Dor}} = L_{\odot} \cdot 10^{\frac{M_{\odot} - M_{\text{S Dor}}}{2.5}}$
Подставим числовые значения:
$L_{\text{S Dor}} = 3.828 \cdot 10^{26} \cdot 10^{\frac{4.74 - (-9.8)}{2.5}}$
$L_{\text{S Dor}} = 3.828 \cdot 10^{26} \cdot 10^{\frac{14.54}{2.5}}$
$L_{\text{S Dor}} = 3.828 \cdot 10^{26} \cdot 10^{5.816}$
$10^{5.816} \approx 654636$
$L_{\text{S Dor}} \approx 3.828 \cdot 10^{26} \cdot 654636 \approx 2.506 \cdot 10^{32} \text{ Вт}$
Таким образом, светимость S Золотой Рыбы примерно в 655 тысяч раз превышает светимость Солнца.

Ответ: Светимость S Золотой Рыбы составляет примерно $2.51 \cdot 10^{32} \text{ Вт}$.