Страница 36, часть 1 - гдз по математике 2 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

1 а) Попробуй заполнить таблицу. Возникло ли у тебя затруднение? Если да, то где оно возникло?

Что ты пока не знаешь? Поставь перед собой цель и составь план.

б) Предложи свой вариант удобной графической модели и записи чисел 10 д, 30 д. Сравни свой вариант с учебным пособием, с. 34.

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо перевести число, записанное в десятках, в единицы, и представить его в виде графической модели. Обычно десятки изображают палочками, а единицы — точками.

• 4 д (четыре десятка):
  Это $4 \times 10 = 40$ единиц. Графическая модель — четыре палочки.

• 1 д 5 е (один десяток пять единиц):
  Это $1 \times 10 + 5 = 15$ единиц. Графическая модель — одна палочка и пять точек.

• 10 д (десять десятков):
  Это $10 \times 10 = 100$ единиц. Графическая модель — десять палочек.

• 30 д (тридцать десятков):
  Это $30 \times 10 = 300$ единиц. Графическая модель — тридцать палочек.

Заполненная таблица:

Да, при заполнении таблицы возникло затруднение. Оно связано с последними двумя строками (10 десятков и 30 десятков). Изображать большое количество десятков в виде отдельных палочек (10, а тем более 30) очень неудобно, занимает много времени и легко ошибиться при счете. Это говорит о том, что для таких чисел нужна более удобная модель и, возможно, новая, более крупная счетная единица.

Ответ: Затруднение возникло при графическом изображении чисел 10 десятков и 30 десятков, так как рисовать большое количество одинаковых фигур (палочек) неудобно и непрактично.

Чтобы упростить графическое изображение и запись больших чисел, можно ввести новую, более крупную разрядную единицу, которая будет объединять десятки. Поскольку 10 десятков — это 100 единиц, эту новую единицу можно назвать «сотня».

Предлагаемый вариант модели и записи:

1. Ввести новую счетную единицу: сотня (с), где $1 \text{ с} = 10 \text{ д} = 100 \text{ е}$.

2. Ввести для нее новый графический символ. Например, если единицы — это точки (•), а десятки — палочки (|), то сотни можно изображать большими квадратами (☐).

В этой модели:

• Число 10 д записывается как 1 с (одна сотня) и изображается как один большой квадрат: ☐.

• Число 30 д ($30 \text{ д} = 3 \times 10 \text{ д}$) записывается как 3 с (три сотни) и изображается как три больших квадрата: ☐☐☐.

Сравнение с учебным пособием:

Вероятно, в учебном пособии на странице 34 предлагается аналогичный подход. Там вводится понятие «сотня» как новая счетная единица, равная десяти десяткам. Для сотен также вводится специальное графическое обозначение (например, большой треугольник или квадрат), чтобы отличать их от десятков и единиц. Таким образом, предложенный вариант соответствует общепринятой в математике системе разрядов и помогает наглядно представлять трехзначные числа.

Ответ: Удобной моделью является введение новой разрядной единицы — сотни (1 сотня = 10 десятков). Графически сотню можно изображать новой фигурой, например, большим квадратом. Тогда 10 д — это 1 сотня (один квадрат), а 30 д — это 3 сотни (три квадрата).

2 Выполни действия и нарисуй их геометрические модели. Что ты замечаешь?

$1 \text{ д} + 2 \text{ д} = \Box \text{ д}$

$\Delta + \Delta\Delta = $

$\Box 10 + 20 = \Box$

$1 \text{ с} + 2 \text{ с} = \Box \text{ с}$

$3 \text{ д} - 2 \text{ д} = \Box \text{ д}$

$3 \text{ с} - 2 \text{ с} = \Box \text{ с}$

1 д + 2 д = ...

В этом примере буква "д" обозначает "десятки". Мы складываем 1 десяток (число 10) и 2 десятка (число 20). В результате получаем 3 десятка (число 30).

Геометрическая модель этого действия показана с помощью треугольников ($Δ$), где один треугольник обозначает один десяток. Складывая один треугольник и два треугольника, мы получаем три треугольника.

Ответ: $1 \text{ д} + 2 \text{ д} = \textbf{3} \text{ д}$; $Δ + ΔΔ = \textbf{ΔΔΔ}$; $10 + 20 = \textbf{30}$.

1 с + 2 с = ...

Здесь буква "с" обозначает "сотни". Мы складываем 1 сотню (число 100) и 2 сотни (число 200). В результате получаем 3 сотни (число 300).

В качестве геометрической модели для сотен будем использовать квадраты ($■$), где один квадрат обозначает одну сотню. Тогда модель будет выглядеть как сложение одного квадрата и двух квадратов.

Ответ: $1 \text{ с} + 2 \text{ с} = \textbf{3} \text{ с}$; $■ + ■■ = \textbf{■■■}$; $100 + 200 = \textbf{300}$.

3 д - 2 д = ...

В этом примере мы вычитаем десятки. Из 3 десятков (число 30) вычитаем 2 десятка (число 20), в результате чего остаётся 1 десяток (число 10).

Используя треугольники ($Δ$) в качестве геометрической модели, мы из трёх треугольников убираем два, и остаётся один треугольник.

Ответ: $3 \text{ д} - 2 \text{ д} = \textbf{1} \text{ д}$; $ΔΔΔ - ΔΔ = \textbf{Δ}$; $30 - 20 = \textbf{10}$.

3 с - 2 с = ...

Здесь мы вычитаем сотни. Из 3 сотен (число 300) вычитаем 2 сотни (число 200), в результате чего остаётся 1 сотня (число 100).

Используя квадраты ($■$) в качестве геометрической модели, мы из трёх квадратов убираем два, и остаётся один квадрат.

Ответ: $3 \text{ с} - 2 \text{ с} = \textbf{1} \text{ с}$; $■■■ - ■■ = \textbf{■}$; $300 - 200 = \textbf{100}$.

Что ты замечаешь?

Можно заметить, что действия со "старшими" разрядами (десятками и сотнями) выполняются точно так же, как и с простыми единицами. Мы складываем и вычитаем количество десятков или сотен, как если бы это были обычные числа, а затем просто добавляем соответствующее наименование разряда ("д" или "с") или нужное количество нулей.

Например, так как $1 + 2 = 3$, то и $1 \text{ д} + 2 \text{ д} = 3 \text{ д}$. Аналогично, так как $3 - 2 = 1$, то и $3 \text{ с} - 2 \text{ с} = 1 \text{ с}$.

Ответ: Складывать и вычитать десятки и сотни можно так же, как и единицы.

3 Вставь пропущенные числа.

$300 + \Box = 800 \quad 900 - \Box = 600 \quad \Box - 700 = 0$

$\Box - 200 = 400 \quad \Box + 100 = 500 \quad 200 + \Box = 200$

300 + □ = 800

В этом уравнении неизвестно второе слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Выполним вычитание: $800 - 300 = 500$.

Таким образом, пропущенное число — 500. Проверим: $300 + 500 = 800$.

Ответ: 500

900 - □ = 600

Здесь неизвестно вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Выполним вычитание: $900 - 600 = 300$.

Пропущенное число — 300. Проверим: $900 - 300 = 600$.

Ответ: 300

□ - 700 = 0

В этом примере неизвестно уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

Выполним сложение: $0 + 700 = 700$.

Пропущенное число — 700. Проверим: $700 - 700 = 0$.

Ответ: 700

□ - 200 = 400

Здесь также неизвестно уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно сложить разность и вычитаемое.

Выполним сложение: $400 + 200 = 600$.

Пропущенное число — 600. Проверим: $600 - 200 = 400$.

Ответ: 600

□ + 100 = 500

В этом уравнении неизвестно первое слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Выполним вычитание: $500 - 100 = 400$.

Пропущенное число — 400. Проверим: $400 + 100 = 500$.

Ответ: 400

200 + □ = 200

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Выполним вычитание: $200 - 200 = 0$.

Пропущенное число — 0. Проверим: $200 + 0 = 200$.

Ответ: 0

3 Найди произведения с помощью числового луча, как показано в образце.

$3 \cdot 5 = 15$

а) $2 \cdot 7 = {}$

б) $6 \cdot 3 = {}$

в) $8 \cdot 2 = {}$

а) Чтобы найти произведение $2 \cdot 7$ с помощью числового луча, нужно от точки 0 сделать 2 шага (прыжка), каждый длиной в 7 единичных отрезков. Первый шаг приведет нас из точки 0 в точку 7. Второй шаг такой же длины приведет нас из точки 7 в точку 14. Таким образом, $2 \cdot 7 = 14$.
Ответ: 14.

б) Чтобы найти произведение $6 \cdot 3$, нужно от точки 0 сделать 6 шагов, каждый длиной в 3 единичных отрезка. Последовательно мы будем попадать в точки 3, 6, 9, 12, 15 и, наконец, 18. Таким образом, $6 \cdot 3 = 18$.
Ответ: 18.

в) Чтобы найти произведение $8 \cdot 2$, нужно от точки 0 сделать 8 шагов, каждый длиной в 2 единичных отрезка. Совершив 8 таких шагов, мы последовательно окажемся в точках 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 и 16. Таким образом, $8 \cdot 2 = 16$.
Ответ: 16.

4 Выполни действия.

$8 \text{ м } 9 \text{ см } - 75 \text{ дм } = \Box \text{ см } = \Box \text{ м } \Box \text{ дм } \Box \text{ см}$

$1 \text{ м } 7 \text{ дм } + 3 \text{ м } 86 \text{ см } = \Box \text{ см } = \Box \text{ м } \Box \text{ дм } \Box \text{ см}$

8 м 9 см – 75 дм

Для выполнения вычитания необходимо привести все величины к одной единице измерения. Удобнее всего перевести всё в сантиметры (см), так как это наименьшая используемая единица и первый требуемый формат ответа.
Вспомним соотношения единиц длины:
1 м = 100 см
1 дм = 10 см

1. Переведём 8 м 9 см в сантиметры:
$8 \text{ м } 9 \text{ см } = 8 \times 100 \text{ см } + 9 \text{ см } = 800 \text{ см } + 9 \text{ см } = 809 \text{ см}$

2. Переведём 75 дм в сантиметры:
$75 \text{ дм } = 75 \times 10 \text{ см } = 750 \text{ см}$

3. Выполним вычитание:
$809 \text{ см } - 750 \text{ см } = 59 \text{ см}$

4. Теперь преобразуем полученный результат (59 см) в метры, дециметры и сантиметры.
В 59 см нет целых метров (так как $59 < 100$), поэтому количество метров равно 0.
Чтобы найти количество дециметров, разделим 59 на 10:
$59 \text{ см } = 50 \text{ см } + 9 \text{ см } = (5 \times 10) \text{ см } + 9 \text{ см } = 5 \text{ дм } 9 \text{ см}$
Таким образом, 59 см это 0 м 5 дм 9 см.

Ответ: 59 см = 0 м 5 дм 9 см

1 м 7 дм + 3 м 86 см

Для выполнения сложения также приведём все величины к сантиметрам.

1. Переведём 1 м 7 дм в сантиметры:
$1 \text{ м } 7 \text{ дм } = 1 \times 100 \text{ см } + 7 \times 10 \text{ см } = 100 \text{ см } + 70 \text{ см } = 170 \text{ см}$

2. Переведём 3 м 86 см в сантиметры:
$3 \text{ м } 86 \text{ см } = 3 \times 100 \text{ см } + 86 \text{ см } = 300 \text{ см } + 86 \text{ см } = 386 \text{ см}$

3. Выполним сложение:
$170 \text{ см } + 386 \text{ см } = 556 \text{ см}$

4. Теперь преобразуем полученный результат (556 см) в метры, дециметры и сантиметры.
Чтобы найти количество метров, разделим 556 на 100:
$556 \div 100 = 5$ (остаток 56). Это 5 метров.
Оставшиеся 56 см переведём в дециметры и сантиметры. Разделим 56 на 10:
$56 \div 10 = 5$ (остаток 6). Это 5 дециметров и 6 сантиметров.
Таким образом, $556 \text{ см } = 5 \text{ м } 5 \text{ дм } 6 \text{ см}$.

Ответ: 556 см = 5 м 5 дм 6 см

5 Коля живёт на шестом этаже, а Игорь – на девятом. Боря и Слава живут выше Коли, но ниже Игоря. Слава живёт ниже Бори. На каких этажах живут Боря и Слава?

Боря – на [ ] этаже. Слава – на [ ] этаже.

Чтобы решить эту задачу, необходимо последовательно проанализировать все данные условия:

1. Известно, что Коля живёт на 6-м этаже, а Игорь — на 9-м.
2. Боря и Слава живут выше Коли, но ниже Игоря. Это означает, что номера их этажей находятся в промежутке между 6-м и 9-м. Математически это можно записать в виде двойного неравенства: $6 < \text{этаж} < 9$.
3. Единственные целые числа (номера этажей), которые удовлетворяют этому неравенству, — это 7 и 8. Следовательно, один из мальчиков живёт на 7-м этаже, а другой — на 8-м.
4. Также дано условие, что Слава живёт ниже Бори. Это значит, что номер этажа Славы меньше, чем номер этажа Бори: $\text{Этаж Славы} < \text{Этаж Бори}$.

Теперь сопоставим имеющиеся у нас данные: два возможных этажа (7-й и 8-й) и условие, что Слава живёт ниже Бори. Поскольку $7 < 8$, мы можем однозначно определить, что Слава живёт на 7-м этаже, а Боря — на 8-м.

Боря - на ☐ этаже.

Так как Слава живёт ниже Бори, Боря должен занимать более высокий из двух доступных этажей (7-го и 8-го). Следовательно, Боря живёт на 8-м этаже.

Ответ: Боря - на 8 этаже.

Слава - на ☐ этаже.

Слава живёт на более низком из двух доступных этажей, что соответствует условию. Таким образом, Слава живёт на 7-м этаже.

Ответ: Слава - на 7 этаже.

1 Вычисли и запиши буквами свойство, которым ты пользуешься.

$24 \cdot 3 = (20 + 4) \cdot 3 =$

$12 \cdot 7 = (10 + 2) \cdot 7 =$

$15 \cdot 4 = (10 + 5) \cdot 4 =$

Свойство:

Расположи полученные числа в порядке убывания.

Найди закономерность и продолжи ряд на 2 числа.

$24 \cdot 3 = (20 + 4) \cdot 3 = 20 \cdot 3 + 4 \cdot 3 = 60 + 12 = 72$. Ответ: 72

$12 \cdot 7 = (10 + 2) \cdot 7 = 10 \cdot 7 + 2 \cdot 7 = 70 + 14 = 84$. Ответ: 84

$15 \cdot 4 = (10 + 5) \cdot 4 = 10 \cdot 4 + 5 \cdot 4 = 40 + 20 = 60$. Ответ: 60

Свойство: Распределительное свойство умножения относительно сложения. Это свойство позволяет умножить сумму на число, умножив каждое слагаемое на это число и сложив результаты. Формула: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$. Ответ: Распределительное свойство умножения.

Расположи полученные числа в порядке убывания. Найди закономерность и продолжи ряд на 2 числа.

Полученные числа: 72, 84, 60. Ряд чисел, расположенных в порядке убывания: 84, 72, 60. Закономерность этого ряда заключается в том, что каждое следующее число на 12 меньше предыдущего ($84 - 12 = 72$; $72 - 12 = 60$). Чтобы продолжить ряд, нужно вычесть 12 из последнего числа: $60 - 12 = 48$, а затем из нового числа: $48 - 12 = 36$. Ответ: 84, 72, 60, 48, 36.

2 а) Попробуй выполнить деление.

$96 : 4 = $

Что ты пока не знаешь? Поставь перед собой цель и составь план.

б) Папа купил 96 тетрадей – 80 маленьких и 16 больших. Как ему разделить их поровну между 4 детьми? Объясни смысл выражений и вычисли.

$96 : 4 = (80 + 16) : 4 = $

Запиши буквами, как разделить сумму на число.

$(a + b) : c = $

Сделай вывод и проверь по учебному пособию, с. 68.

а) Чтобы выполнить деление $96 : 4$, нужно представить число 96 в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых легко делится на 4. Например, 96 можно представить как сумму 80 и 16. Оба этих числа делятся на 4 без остатка.
$96 : 4 = (80 + 16) : 4 = 80 : 4 + 16 : 4 = 20 + 4 = 24$

Ответ: 24.

б) Папа может разделить тетради двумя способами. Первый способ — сложить все тетради вместе ($80 + 16 = 96$) и затем общее количество разделить на 4 детей. Второй способ, который и показан в выражении, — это разделить сначала маленькие тетради на 4 детей, а потом большие тетради на 4 детей, и сложить результаты.

Объяснение и вычисление:
Выражение $(80 + 16) : 4$ означает, что общую сумму тетрадей (80 маленьких и 16 больших) делят поровну на 4. Чтобы это сделать, мы можем разделить каждую группу тетрадей отдельно:
1. Делим 80 маленьких тетрадей на 4 детей: $80 : 4 = 20$ тетрадей каждому.
2. Делим 16 больших тетрадей на 4 детей: $16 : 4 = 4$ тетради каждому.
3. Складываем количество тетрадей, которое получил каждый ребенок: $20 + 4 = 24$ тетради.
Таким образом: $96 : 4 = (80 + 16) : 4 = 80 : 4 + 16 : 4 = 20 + 4 = 24$.

Запись правила буквами:
$(a + b) : c = a : c + b : c$

Вывод: чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое, а затем полученные результаты сложить (при условии, что каждое слагаемое делится на это число).

Ответ: 24 тетради.

3 Разбей делимое на сумму разрядных слагаемых и вычисли.

$93 : 3 = $

$48 : 4 = $

$64 : 2 = $

93 : 3 =

Для решения этого примера разложим делимое 93 на сумму разрядных слагаемых. Число 93 состоит из 9 десятков и 3 единиц. Таким образом, $93 = 90 + 3$.

Теперь применим свойство деления суммы на число: чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

$93 : 3 = (90 + 3) : 3 = 90 : 3 + 3 : 3$

Вычислим каждое частное по отдельности:

$90 : 3 = 30$

$3 : 3 = 1$

Теперь сложим полученные результаты:

$30 + 1 = 31$

Ответ: 31

48 : 4 =

Разложим делимое 48 на сумму разрядных слагаемых. Число 48 состоит из 4 десятков и 8 единиц. Таким образом, $48 = 40 + 8$.

Разделим полученную сумму на 4:

$48 : 4 = (40 + 8) : 4 = 40 : 4 + 8 : 4$

Вычислим каждое частное по отдельности:

$40 : 4 = 10$

$8 : 4 = 2$

Теперь сложим полученные результаты:

$10 + 2 = 12$

Ответ: 12

64 : 2 =

Разложим делимое 64 на сумму разрядных слагаемых. Число 64 состоит из 6 десятков и 4 единиц. Таким образом, $64 = 60 + 4$.

Разделим полученную сумму на 2:

$64 : 2 = (60 + 4) : 2 = 60 : 2 + 4 : 2$

Вычислим каждое частное по отдельности:

$60 : 2 = 30$

$4 : 2 = 2$

Теперь сложим полученные результаты:

$30 + 2 = 32$

Ответ: 32

4 Запиши делимое как сумму удобных слагаемых и вычисли.

$42 : 3 =$

$56 : 4 =$

$72 : 6 =$

42 : 3 =

Чтобы решить этот пример, нужно представить делимое (42) как сумму двух чисел, каждое из которых легко делится на делитель (3). Наиболее удобный способ — разложить 42 на 30 и 12. Оба этих числа делятся на 3.

Теперь применим свойство деления суммы на число: $(a+b) : c = a:c + b:c$.

$42 : 3 = (30 + 12) : 3 = 30 : 3 + 12 : 3 = 10 + 4 = 14$

Ответ: 14

56 : 4 =

Представим делимое (56) в виде суммы удобных слагаемых, которые делятся на 4. Удобно разложить 56 на 40 и 16, так как оба числа делятся на 4 без остатка.

Выполним вычисление по частям:

$56 : 4 = (40 + 16) : 4 = 40 : 4 + 16 : 4 = 10 + 4 = 14$

Ответ: 14

72 : 6 =

Представим делимое (72) в виде суммы удобных слагаемых, делящихся на 6. Для этого разложим 72 на 60 и 12. Оба этих числа кратны 6.

Выполним вычисление по частям:

$72 : 6 = (60 + 12) : 6 = 60 : 6 + 12 : 6 = 10 + 2 = 12$

Ответ: 12