Страница 32, часть 1 - гдз по математике 2 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

1 а) Вычисли разности. Как изменяется уменьшаемое, вычитаемое, результат? Сделай вывод.

$5 - 2 = $ $6 - 3 = $ $7 - 4 = $ $8 - 5 = $

б) Используя полученный вывод, попробуй решить примеры 73 – 19 и 40 – 21 новым быстрым способом.

$73 - 19 = $

$40 - 21 = $

в) Сравни своё решение с решением в учебном пособии, с. 29 (если надо, исправь ошибки). Сделай вывод.

а) Вычисли разности. Как изменяется уменьшаемое, вычитаемое, результат? Сделай вывод.

$5 - 2 = 3$

$6 - 3 = 3$

$7 - 4 = 3$

$8 - 5 = 3$

Анализ изменений: уменьшаемое (первое число) последовательно увеличивается на 1: 5, 6, 7, 8. Вычитаемое (второе число) также последовательно увеличивается на 1: 2, 3, 4, 5. При этом результат (разность) остается неизменным и всегда равен 3.

Вывод: если уменьшаемое и вычитаемое увеличить или уменьшить на одно и то же число, то разность не изменится. Математически это свойство можно записать так: $a - b = (a + c) - (b + c)$ и $a - b = (a - c) - (b - c)$.

Ответ: 3, 3, 3, 3. Вывод: если одновременно увеличить или уменьшить на одно и то же число уменьшаемое и вычитаемое, то разность останется прежней.

б) Используя полученный вывод, попробуй решить примеры 73 – 19 и 40 – 21 новым быстрым способом.

Чтобы упростить вычисления, можно изменить уменьшаемое и вычитаемое на одно и то же число так, чтобы вычитаемое стало "круглым" (оканчивалось на 0). Этот прием называется методом округления.

Решение примера 73 – 19:

Вычитаемое 19 близко к круглому числу 20. Чтобы получить 20, нужно к 19 прибавить 1. Согласно выводу из пункта а), чтобы разность не изменилась, нужно прибавить 1 и к уменьшаемому 73.

$73 - 19 = (73 + 1) - (19 + 1) = 74 - 20 = 54$

Решение примера 40 – 21:

Вычитаемое 21 близко к круглому числу 20. Чтобы получить 20, нужно от 21 отнять 1. Чтобы разность не изменилась, нужно отнять 1 и от уменьшаемого 40.

$40 - 21 = (40 - 1) - (21 - 1) = 39 - 20 = 19$

Ответ: $73 - 19 = 54$; $40 - 21 = 19$.

в) Сравни своё решение с решением в учебном пособии, с. 29 (если надо, исправь ошибки). Сделай вывод.

При сравнении решения с учебным пособием можно убедиться, что использованный метод округления является верным. Он основан на свойстве сохранения разности при одновременном изменении уменьшаемого и вычитаемого на одно и то же число.

Вывод: метод округления является эффективным приемом для упрощения вычислений при вычитании. Он позволяет свести вычитание к более простому случаю, когда вычитаемое является круглым числом, что особенно удобно для устного счета.

Ответ: Вывод: метод сохранения разности (округления) является правильным и удобным способом для решения примеров на вычитание.

2 Наташа прочитала в июне 7 книг, а в июле – 9 книг. Поставь вопрос так, чтобы задача решалась: а) сложением; б) вычитанием. Реши задачи.

а) Сколько книг Наташа прочитала за июнь и июль?

$7 + 9 = 16$ (книг)

Ответ: 16 книг

б) На сколько больше книг Наташа прочитала в июле, чем в июне?

$9 - 7 = 2$ (книги)

Ответ: на 2 книги

а) Чтобы задача решалась сложением, нужно найти общее количество книг, прочитанных за два месяца. Поставим вопрос: «Сколько всего книг прочитала Наташа за июнь и июль?»

Для решения сложим количество книг, прочитанных в июне, и количество книг, прочитанных в июле.

$7 + 9 = 16$ (книг)

Ответ: 16 книг.

б) Чтобы задача решалась вычитанием, нужно сравнить количество книг, прочитанных в разные месяцы. Поставим вопрос: «На сколько больше книг Наташа прочитала в июле, чем в июне?»

Для решения вычтем из большего числа (книги в июле) меньшее (книги в июне).

$9 - 7 = 2$ (книги)

Ответ: на 2 книги.

3 Сравни.

$a + 2$ $a$

$c + 3$ $c + 4$

$x - 7$ $x - 8$

$b$ $b - 1$

$d + 6$ $6 + d$

$5 - y$ $9 - y$

a + 2 ☐ a
Чтобы сравнить выражения $a + 2$ и $a$, посмотрим на их различие. В левой части к числу $a$ прибавляется 2. Любое число, увеличенное на 2, становится больше самого себя. Следовательно, выражение $a + 2$ всегда будет больше, чем $a$.
Ответ: $a + 2 > a$.

c + 3 ☐ c + 4
В обоих выражениях к одному и тому же числу $c$ прибавляются разные числа: 3 и 4. Так как $3 < 4$, то прибавление 3 к $c$ даст меньший результат, чем прибавление 4 к $c$. Поэтому $c + 3$ меньше, чем $c + 4$.
Ответ: $c + 3 < c + 4$.

x - 7 ☐ x - 8
Здесь из одного и того же числа $x$ вычитаются разные числа: 7 и 8. Чем большее число мы вычитаем, тем меньший результат получаем. Поскольку $8 > 7$, вычитание 8 из $x$ даст меньший результат, чем вычитание 7. Значит, $x - 7$ больше, чем $x - 8$.
Ответ: $x - 7 > x - 8$.

b ☐ b - 1
Сравниваем число $b$ с выражением $b - 1$. Выражение $b - 1$ означает, что от числа $b$ отняли 1. Любое число, уменьшенное на 1, становится меньше самого себя. Таким образом, $b$ всегда больше, чем $b - 1$.
Ответ: $b > b - 1$.

d + 6 ☐ 6 + d
Эти два выражения являются примером переместительного закона сложения, который гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Слагаемыми здесь являются $d$ и 6. Следовательно, выражения равны.
Ответ: $d + 6 = 6 + d$.

5 - y ☐ 9 - y
В обоих случаях из разных чисел (уменьшаемых) вычитается одно и то же число $y$ (вычитаемое). Так как уменьшаемое 5 меньше уменьшаемого 9, то и результат вычитания (разность) в первом случае будет меньше. Следовательно, $5 - y$ меньше, чем $9 - y$.
Ответ: $5 - y < 9 - y$.

4 Определи, какие записи будут верными, если вместо пропусков поставить число 5? Отметь их галочкой.

$k + \Box < k + 8$

$12 - m > \Box - m$

$n - 4 < n - \Box$

Чтобы определить, какие записи будут верными, подставим число 5 в пропуски в каждом неравенстве и проверим, выполняется ли оно.

k + ☐ < k + 8

Подставим число 5 вместо пропуска в неравенство:

$k + 5 < k + 8$

Это неравенство можно упростить, вычтя из обеих его частей переменную $k$. Знак неравенства при этом не изменится:

$5 < 8$

Получилось верное числовое неравенство, так как 5 действительно меньше 8. Значит, исходная запись будет верной при подстановке числа 5.

Ответ: запись верна.

12 - m > ☐ - m

Подставим число 5 вместо пропуска в неравенство:

$12 - m > 5 - m$

Чтобы проверить это неравенство, прибавим к обеим его частям переменную $m$. Знак неравенства при этом не изменится:

$12 > 5$

Получилось верное числовое неравенство, так как 12 действительно больше 5. Значит, исходная запись будет верной при подстановке числа 5.

Ответ: запись верна.

n - 4 < n - ☐

Подставим число 5 вместо пропуска в неравенство:

$n - 4 < n - 5$

Упростим неравенство, вычтя из обеих его частей переменную $n$. Знак неравенства при этом не изменится:

$-4 < -5$

Получилось неверное числовое неравенство. Число -4 больше, чем -5 (на числовой оси -4 расположено правее). Другое объяснение: в левой части из числа $n$ вычитают 4, а в правой — 5. Чем большее число мы вычитаем из одного и того же числа, тем меньший результат получаем. Поскольку $4 < 5$, то результат вычитания 4 будет больше, чем результат вычитания 5, то есть $n - 4 > n - 5$. Таким образом, исходная запись будет неверной.

Ответ: запись неверна.

5 Вставь в квадраты пропущенные цифры.

$ \begin{array}{r} \square 4 \\ + 2 \square \\ \hline 3 6 \end{array} $

$ \begin{array}{r} 5 \square \\ + \square 3 \\ \hline 7 8 \end{array} $

$ \begin{array}{r} \square \square \\ - 1 2 \\ \hline 4 2 \end{array} $

$ \begin{array}{r} \square 4 \\ - 2 \square \\ \hline 1 0 \end{array} $

1. Составь произведения по рисункам.

$\square \cdot \square$

$\square \cdot \square$

2. Запиши произведение и найди его значение.

Для приготовления одного кекса требуется 3 яйца. Сколько яиц потребуется для приготовления 4 кексов?

3. Запиши в виде произведения.

$5 + 5 + 5 + 5 = 5 \cdot 4$

$x + x + x + x + x = x \cdot 5$

$\underbrace{8 + 8 + \dots + 8}_{k \text{ раз}} = 8 \cdot k$

$\underbrace{a + a + \dots + a}_{27 \text{ раз}} = a \cdot 27$

1. Составь произведения по рисункам.

2. Запиши произведение и найди его значение.

3. Запиши в виде произведения.

1. Составь произведения по рисункам.

$\square \cdot \square$

$\square \cdot \square$

2. Запиши произведение и найди его значение.

В каждый новогодний подарок положили по 5 шоколадок.

Сколько шоколадок положили в 2 подарка?

3. Запиши в виде произведения.

$7 + 7 + 7 = \text{\_}$

$c + c + c + c + c = \text{\_}$

$9 + 9 + \dots + 9 = \text{\_}$
b раз

$m + m + \dots + m = \text{\_}$
16 раз

1. Составь произведения по рисункам.

На первом рисунке изображены 4 группы ёлочных шаров, в каждой группе по 2 шара. Чтобы найти общее количество, нужно умножить количество шаров в одной группе (2) на количество групп (4). Получаем произведение: $2 \cdot 4$.
На втором рисунке изображены 2 группы свечей, в каждой группе по 4 свечи. Чтобы найти общее количество, нужно умножить количество свечей в одной группе (4) на количество групп (2). Получаем произведение: $4 \cdot 2$.
Ответ: $2 \cdot 4$ и $4 \cdot 2$.

2. Запиши произведение и найди его значение.

В условии задачи сказано, что в каждый из 2 новогодних подарков положили по 5 шоколадок. Чтобы узнать общее количество шоколадок, нужно количество шоколадок в одном подарке (5) умножить на количество подарков (2).
Составим произведение: $5 \cdot 2$.
Найдем его значение: $5 \cdot 2 = 10$.
Ответ: $5 \cdot 2 = 10$.

3. Запиши в виде произведения.

Сложение одинаковых чисел можно заменить умножением. Первый множитель — это повторяющееся слагаемое, а второй множитель — это количество повторений.
$7 + 7 + 7 = 7 \cdot 3$ (слагаемое 7 повторяется 3 раза).
$c + c + c + c + c = c \cdot 5$ (слагаемое c повторяется 5 раз).
$9 + 9 + ... + 9$ (b раз) $= 9 \cdot b$ (слагаемое 9 повторяется b раз).
$m + m + ... + m$ (16 раз) $= m \cdot 16$ (слагаемое m повторяется 16 раз).
Ответ: $7 \cdot 3$; $c \cdot 5$; $9 \cdot b$; $m \cdot 16$.

3 Найди закономерность и вставь пропущенные числа:

$2, 4, 6, \boxed{}, 10, \boxed{}, \boxed{}, 16, \boxed{}, \boxed{}.$

Дан числовой ряд: 2, 4, 6, __, 10, __, __, 16, __, __.

Чтобы найти закономерность, проанализируем первые числа в этом ряду. Мы видим, что каждое следующее число получается путем прибавления 2 к предыдущему:

$4 - 2 = 2$
$6 - 4 = 2$

Таким образом, мы имеем дело с арифметической прогрессией, где каждый следующий член на 2 больше предыдущего. Следуя этой закономерности, мы можем найти все пропущенные числа.

Найдем числа, которые нужно вставить в пропуски:

• Первый пропуск находится после числа 6. Следующее число будет: $6 + 2 = 8$.
• Второй пропуск находится после числа 10. Следующее число будет: $10 + 2 = 12$.
• Третий пропуск находится после числа 12. Следующее число будет: $12 + 2 = 14$.
• Четвертый пропуск находится после числа 16. Следующее число будет: $16 + 2 = 18$.
• Пятый пропуск находится после числа 18. Следующее число будет: $18 + 2 = 20$.

В результате мы получаем полную последовательность:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.

Ответ: Пропущенные числа: 8, 12, 14, 18, 20.

1. Вырази число 425 в разных единицах счёта и запиши в виде суммы разрядных слагаемых.

$425 = \square \text{ с } \square \text{ е } = \square \text{ д } \square \text{ е } = \square \text{ с } \square \text{ д } \square \text{ е}$

$425 = \square + \square + \square$

Выражение числа 425 в разных единицах счёта

Для выполнения этого задания представим число 425, используя различные единицы счёта: сотни (с), десятки (д) и единицы (е).

1. Представление в сотнях и единицах. В числе 425 содержится 4 полных сотни ($4 \times 100 = 400$). Оставшаяся часть – это 25, что равно 25 единицам.
Таким образом, получаем: $425 = 4$ с $25$ е.

2. Представление в десятках и единицах. Чтобы узнать, сколько всего десятков в числе 425, нужно разделить его на 10. Получим 42 полных десятка ($42 \times 10 = 420$). Остаток – 5, что равно 5 единицам.
Таким образом, получаем: $425 = 42$ д $5$ е.

3. Представление в сотнях, десятках и единицах. Это стандартное разложение числа по разрядам.
Число 425 состоит из 4 сотен, 2 десятков и 5 единиц.
Таким образом, получаем: $425 = 4$ с $2$ д $5$ е.

Заполняя пропуски, получаем итоговую запись:
$425 = 4$ с $25$ е $= 42$ д $5$ е $= 4$ с $2$ д $5$ е.
Ответ: $425 = 4$ с $25$ е $= 42$ д $5$ е $= 4$ с $2$ д $5$ е.

Запись числа 425 в виде суммы разрядных слагаемых

Чтобы записать число в виде суммы разрядных слагаемых, нужно представить его как сумму значений каждой из его цифр в соответствии с её разрядом.
- Цифра 4 находится в разряде сотен, её значение равно $4 \times 100 = 400$.
- Цифра 2 находится в разряде десятков, её значение равно $2 \times 10 = 20$.
- Цифра 5 находится в разряде единиц, её значение равно $5 \times 1 = 5$.
Складывая эти значения, получаем сумму разрядных слагаемых.
Ответ: $425 = 400 + 20 + 5$.

Объясни по рисункам смысл выражений и сравни их. Что ты замечаешь? Как это можно объяснить?

a) 70 4 8

$(70 + 4) \cdot 8 \text{ } \square \text{ } 70 \cdot 8 + 4 \cdot 8$

б) a b c

$(a + b) \cdot c \text{ } \square \text{ } a \cdot c + b \cdot c$

Сделай вывод: как умножить сумму на число?

а)

На рисунке изображен большой прямоугольник, который разделен на два маленьких. Ширина большого прямоугольника равна $8$. Его длина является суммой длин двух маленьких прямоугольников: $70$ и $4$.

Выражение $(70 + 4) \cdot 8$ означает, что мы сначала находим полную длину большого прямоугольника ($70 + 4$), а затем умножаем ее на ширину $8$, чтобы найти его площадь.

Выражение $70 \cdot 8 + 4 \cdot 8$ означает, что мы находим площади двух маленьких прямоугольников по отдельности и складываем их. Площадь левого прямоугольника равна $70 \cdot 8$, а площадь правого — $4 \cdot 8$.

Сравним эти выражения. Поскольку оба выражения вычисляют площадь одной и той же фигуры, они равны. Это можно проверить вычислением:

$(70 + 4) \cdot 8 = 74 \cdot 8 = 592$

$70 \cdot 8 + 4 \cdot 8 = 560 + 32 = 592$

Можно заметить, что результат умножения суммы на число совпадает с суммой произведений каждого слагаемого на это число. Это можно объяснить тем, что площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей.

Ответ: $(70 + 4) \cdot 8 = 70 \cdot 8 + 4 \cdot 8$.

б)

Этот рисунок использует буквы, чтобы показать то же правило в общем виде. Прямоугольник имеет ширину $c$ и длину, равную сумме отрезков $a$ и $b$.

Выражение $(a + b) \cdot c$ — это площадь всего прямоугольника, вычисленная как произведение его полной длины $(a + b)$ на ширину $c$.

Выражение $a \cdot c + b \cdot c$ — это сумма площадей двух меньших прямоугольников, из которых состоит большой. Площадь первого равна $a \cdot c$, а второго — $b \cdot c$.

Как и в предыдущем случае, оба выражения равны, так как они описывают площадь одной и той же фигуры. Это правило называется распределительным свойством умножения относительно сложения.

Ответ: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.

Сделай вывод: как умножить сумму на число?

Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое по отдельности, а затем сложить полученные произведения.

Это правило можно записать в виде формулы: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.

3 а) Выполни умножение.

$23 \cdot 6 = $

Что ты пока не знаешь? Поставь перед собой цель и составь план.

б) Запиши число 23 в виде суммы разрядных слагаемых и примени правило умножения суммы на число. Что ты замечаешь?

$23 \cdot 6 = (\Box + \Box) \cdot 6 =$

Сделай вывод и проверь себя по учебному пособию, с. 60.

а) Выполним умножение:

$23 \cdot 6 = 138$

Вопрос "Что ты пока не знаешь?" является подводящим к следующему заданию. Возможно, мы еще не знаем, как легко и быстро умножать двузначные числа на однозначные в уме. Цель — научиться этому. План решения этой задачи как раз и представлен в пункте б).

Ответ: $138$.

б) Для решения этого примера нужно выполнить несколько шагов.

1. Запишем число 23 в виде суммы разрядных слагаемых.
Число 23 состоит из 2 десятков (это 20) и 3 единиц (это 3).
$23 = 20 + 3$

2. Применим правило умножения суммы на число.
Правило гласит: чтобы умножить сумму на число, нужно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить. В виде формулы это выглядит так: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.
Подставим нашу сумму в выражение:

$23 \cdot 6 = (20 + 3) \cdot 6 = 20 \cdot 6 + 3 \cdot 6$

3. Выполним вычисления.
Сначала умножим каждое слагаемое на 6:
$20 \cdot 6 = 120$
$3 \cdot 6 = 18$
Теперь сложим полученные результаты:
$120 + 18 = 138$

Что ты замечаешь?
Я замечаю, что результат, полученный этим способом ($138$), совпадает с результатом из пункта а). Этот метод позволяет разбить одно более сложное вычисление на несколько простых, которые легко выполнить в уме.

Сделай вывод.
Чтобы умножить двузначное число на однозначное, можно представить двузначное число в виде суммы разрядных слагаемых (десятков и единиц). Затем нужно умножить каждое слагаемое на это однозначное число, а после сложить полученные произведения.

Ответ: $23 \cdot 6 = (20 + 3) \cdot 6 = 20 \cdot 6 + 3 \cdot 6 = 120 + 18 = 138$.

4 Составь схему и выполни действия.

а) $57 \cdot 9 = \text{______}$

$\begin{array}{ccc} & 57 & \\ & \vee & \\ 50 & & 7 \end{array}$

б) $4 \cdot 82 = \text{______}$

$\begin{array}{ccc} & 82 & \\ & \vee & \\ 80 & & 2 \end{array}$

а)

Чтобы решить данный пример, нужно использовать распределительное свойство умножения. Число 57 раскладывается на сумму удобных слагаемых 50 и 7. Далее, каждый из этих слагаемых умножается на 9, и результаты складываются.

Схематически это можно представить как нахождение площади прямоугольника со сторонами 9 и 57. Мысленно разделим сторону 57 на два отрезка длиной 50 и 7. Тогда площадь всего прямоугольника будет равна сумме площадей двух меньших прямоугольников: одного со сторонами 9 и 50, и другого со сторонами 9 и 7.

Выполним вычисления по шагам:

1. Умножим десятки: $50 \cdot 9 = 450$. Это значение вписывается в левую, большую часть схемы.

2. Умножим единицы: $7 \cdot 9 = 63$. Это значение вписывается в правую, меньшую часть схемы.

3. Сложим полученные результаты: $450 + 63 = 513$.

Полная запись решения выглядит так: $57 \cdot 9 = (50 + 7) \cdot 9 = 50 \cdot 9 + 7 \cdot 9 = 450 + 63 = 513$.

Ответ: 513

б)

Данный пример решается аналогично, с использованием распределительного свойства умножения. Сначала число 82 раскладывается на сумму разрядных слагаемых 80 и 2. Затем множитель 4 умножается на каждое из этих слагаемых, и полученные произведения складываются.

Схема, как и в предыдущем задании, представляет собой нахождение площади прямоугольника со сторонами 4 и 82, который разделен на две части с площадями $4 \cdot 80$ и $4 \cdot 2$.

Выполним вычисления по шагам:

1. Умножим 4 на десятки: $4 \cdot 80 = 320$. Это значение для левой части схемы.

2. Умножим 4 на единицы: $4 \cdot 2 = 8$. Это значение для правой части схемы.

3. Сложим полученные результаты: $320 + 8 = 328$.

Полная запись решения: $4 \cdot 82 = 4 \cdot (80 + 2) = 4 \cdot 80 + 4 \cdot 2 = 320 + 8 = 328$.

Ответ: 328

5 Продолжи ряд на 4 числа: 5, 14, 22, 29, 35,

Для того чтобы продолжить числовой ряд, необходимо определить закономерность, по которой он построен. Проанализируем разницу между соседними членами ряда:

• Разница между вторым и первым числом: $14 - 5 = 9$

• Разница между третьим и вторым числом: $22 - 14 = 8$

• Разница между четвертым и третьим числом: $29 - 22 = 7$

• Разница между пятым и четвертым числом: $35 - 29 = 6$

Как мы видим, каждое следующее число получается путем прибавления к предыдущему числа, которое на единицу меньше, чем число, прибавленное на предыдущем шаге. Последовательность добавляемых чисел: 9, 8, 7, 6...

Чтобы найти следующие четыре числа в ряду, мы должны продолжить эту последовательность разностей. Следующие разности будут: 5, 4, 3, 2.

Теперь вычислим следующие числа ряда:

• Шестое число: к последнему известному числу 35 прибавляем 5. $35 + 5 = 40$

• Седьмое число: к полученному числу 40 прибавляем 4. $40 + 4 = 44$

• Восьмое число: к полученному числу 44 прибавляем 3. $44 + 3 = 47$

• Девятое число: к полученному числу 47 прибавляем 2. $47 + 2 = 49$

Таким образом, продолженный ряд выглядит так: 5, 14, 22, 29, 35, 40, 44, 47, 49.

Ответ: 40, 44, 47, 49.