Номер 14, страница 67, часть 1 - гдз по математике 2 класс учебник Петерсон

14 Как нужно расставить знаки «+» в следующей записи, чтобы получилась сумма, равная 100?

$1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7$

Для решения этой задачи нужно расставить знаки сложения «+» между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы итоговая сумма стала равна 100. Если знака «+» между двумя цифрами нет, они объединяются в одно число (например, 1 и 2 становятся числом 12).

Для начала посчитаем сумму всех цифр, как если бы между всеми стояли плюсы:

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28$

Эта сумма значительно меньше 100. Разница составляет $100 - 28 = 72$. Эту разницу нужно «добрать», объединяя некоторые цифры в двузначные числа.

Когда мы объединяем две соседние цифры, например a и b, в число «ab» (которое равно $10 \times a + b$), сумма выражения увеличивается. Вместо слагаемых $a$ и $b$ появляется одно слагаемое $10 \times a + b$. Увеличение суммы равно: $(10 \times a + b) - (a + b) = 9 \times a$.

Следовательно, общее увеличение суммы, равное 72, должно быть равно сумме произведений $9 \times a_i$ для всех цифр $a_i$, с которых начинаются двузначные числа:

$9 \times (a_1 + a_2 + \dots) = 72$

Отсюда находим, что сумма всех первых цифр в образуемых двузначных числах должна быть:

$a_1 + a_2 + \dots = 72 \div 9 = 8$

Теперь нужно найти среди цифр {1, 2, 3, 4, 5, 6} (цифра 7 не может быть первой в двузначном числе) такие, которые в сумме дают 8. Важное условие: если мы используем цифру, например 3, для образования числа 34, то следующую за ней цифру 4 мы уже не можем использовать как первую в другом двузначном числе. Это значит, что цифры, которые мы выбираем, не должны стоять в исходной последовательности рядом.

Существует два таких набора цифр:

Вариант 1

Выбираем цифры 3 и 5. Их сумма $3+5=8$. Они не стоят рядом. Это означает, что мы должны образовать числа 34 и 56. Расстановка знаков будет следующей:

$1 + 2 + 34 + 56 + 7$

Проверим результат:

$1 + 2 + 34 + 56 + 7 = 3 + 34 + 56 + 7 = 37 + 56 + 7 = 93 + 7 = 100$

Ответ: $1 + 2 + 34 + 56 + 7 = 100$.

Вариант 2

Выбираем цифры 2 и 6. Их сумма $2+6=8$. Они не стоят рядом. Это означает, что мы должны образовать числа 23 и 67. Расстановка знаков будет такой:

$1 + 23 + 4 + 5 + 67$

Проверим результат:

$1 + 23 + 4 + 5 + 67 = 24 + 4 + 5 + 67 = 28 + 5 + 67 = 33 + 67 = 100$

Ответ: $1 + 23 + 4 + 5 + 67 = 100$.