Номер 14, страница 33, часть 3 - гдз по математике 2 класс учебник Петерсон

14 Найди двузначное число, кратное 9, которое в 9 раз больше суммы своих цифр.

Обозначим искомое двузначное число как $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. По определению двузначного числа, $a$ может быть любым целым числом от 1 до 9, а $b$ — от 0 до 9.

Согласно условиям задачи, мы можем составить систему уравнений:

1. Число кратно 9. По признаку делимости на 9, сумма цифр числа должна делиться на 9. То есть $(a + b)$ — кратно 9. Поскольку $1 \le a \le 9$ и $0 \le b \le 9$, то $1 \le a+b \le 18$. Единственные значения, кратные 9 в этом диапазоне, — это 9 и 18. Таким образом, $a+b=9$ или $a+b=18$.

2. Число в 9 раз больше суммы своих цифр. Это можно записать в виде уравнения: $10a + b = 9 \cdot (a + b)$

Раскроем скобки и упростим второе уравнение:

$10a + b = 9a + 9b$

Перенесем слагаемые с переменной $a$ в левую часть, а с переменной $b$ — в правую:

$10a - 9a = 9b - b$

$a = 8b$

Теперь мы имеем простое соотношение между цифрами $a$ и $b$. Подставим возможные значения для цифры $b$ (от 0 до 9) и найдем соответствующее значение для $a$:

• Если $b = 0$, то $a = 8 \cdot 0 = 0$. Этот вариант не подходит, так как для двузначного числа цифра десятков $a$ не может быть равна нулю.
• Если $b = 1$, то $a = 8 \cdot 1 = 8$. Цифры $a=8$ и $b=1$ удовлетворяют условиям ($a$ от 1 до 9, $b$ от 0 до 9). Искомое число — 81.
• Если $b = 2$, то $a = 8 \cdot 2 = 16$. Этот вариант не подходит, так как $a$ должна быть однозначной цифрой.

Для всех $b \ge 2$ значение $a$ будет двузначным, что невозможно. Следовательно, единственная подходящая пара цифр — это $a=8$ и $b=1$.

Проверим, соответствует ли найденное число 81 всем условиям задачи:

1. Число 81 кратно 9? Да, $81 : 9 = 9$.

2. Сумма его цифр равна $8+1=9$.

3. Число 81 в 9 раз больше суммы своих цифр? Да, $9 \cdot 9 = 81$.

Все условия выполнены.

Ответ: 81.