Номер 103, страница 111, часть 3 - гдз по математике 2 класс учебник Петерсон

103 *

На острове «Зе-зе»

Устроили турнир

Пять шустрых шимпанзе:

Аз, Ти, Ви, Би и Кир.

На сколько мест отстал

От Би упрямец Ти,

На столько выше Аз

Стоит над Ви. Учти,

Что Ви идёт за Ти,

А наш знакомый Ти

В таблице не второй.

Да, я забыл, прости,

Сказать ещё, что Кир

Не первый и не третий...

Возьми-ка карандаш! Хватает данных этих,

Чтоб ты распределил как следует места.

Задача не сложна, хотя и не проста!

Для решения задачи обозначим места, занятые шимпанзе в турнирной таблице, переменными. Пусть место, занятое Азом, — $a$, Ти — $t$, Ви — $v$, Би — $b$, Киром — $k$. Места могут принимать значения от 1 до 5, где 1 — первое (лучшее) место, а 5 — пятое (худшее).

Проанализируем все условия, данные в задаче, и переведем их на язык математики:

1. «На сколько мест отстал От Би упрямец Ти, На столько выше Аз Стоит над Ви». «Ти отстал от Би» означает, что номер места у Ти больше, чем у Би ($t > b$). «Аз выше ... над Ви» означает, что номер места у Аза меньше, чем у Ви ($a < v$). Равенство разниц в местах записывается как уравнение: $t - b = v - a$.

2. «Учти, Что Ви идёт за Ти». Это означает, что Ви занял место сразу после Ти, то есть, $v = t + 1$.

3. «А наш знакомый Ти В таблице не второй». Следовательно, $t \ne 2$.

4. «Сказать ещё, что Кир Не первый и не третий». Отсюда следует, что $k \ne 1$ и $k \ne 3$.

Теперь приступим к решению. Подставим соотношение из второго условия ($v = t + 1$) в уравнение из первого условия ($t - b = v - a$):
$t - b = (t + 1) - a$
$t - b = t + 1 - a$
Вычтем из обеих частей уравнения $t$:
$-b = 1 - a$
Преобразуем уравнение:
$a - b = 1$, что равносильно $a = b + 1$.
Это означает, что Аз занял место сразу после Би.

Таким образом, мы установили, что есть две пары шимпанзе, занявшие места подряд:
- Би и Аз (места $b$ и $b+1$)
- Ти и Ви (места $t$ и $t+1$)
Эти четыре шимпанзе занимают четыре из пяти мест. Пятый участник, Кир, занимает оставшееся место.

Рассмотрим, какие места мог занять Кир. Поскольку четыре места заняты двумя парами идущих подряд, возможны следующие комбинации для этих четырех мест: {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 4, 5} или {2, 3, 4, 5}.
- Если пары занимают места {1, 2} и {3, 4}, то для Кира остается 5-е место ($k=5$). Этот вариант допустим, так как он не противоречит условию $k \ne 1$ и $k \ne 3$.
- Если пары занимают места {1, 2} и {4, 5}, то для Кира остается 3-е место ($k=3$). Этот вариант невозможен, так как он противоречит условию $k \ne 3$.
- Если пары занимают места {2, 3} и {4, 5}, то для Кира остается 1-е место ($k=1$). Этот вариант также невозможен, так как противоречит условию $k \ne 1$.
Следовательно, единственно возможный вариант — Кир занял 5-е место, а две пары разделили между собой места с 1-го по 4-е. То есть, одна пара заняла места {1, 2}, а другая — {3, 4}.

Осталось определить, какая пара какие места заняла. Проверим два возможных варианта.
Вариант 1: Пара (Би, Аз) занимает места {1, 2}, а пара (Ти, Ви) — {3, 4}.
В этом случае $b=1, a=2$ и $t=3, v=4$.
Проверим соответствие всем условиям:
- Условие $t > b$ выполняется: $3 > 1$.
- Условие $t \ne 2$ выполняется: $3 \ne 2$.
- Условие для $k$ выполняется: $k=5$.
- Проверим основное равенство: $t - b = v - a \implies 3 - 1 = 4 - 2 \implies 2 = 2$. Равенство верно.
Все условия выполнены, значит, это правильное решение.

Вариант 2: Пара (Ти, Ви) занимает места {1, 2}, а пара (Би, Аз) — {3, 4}.
В этом случае $t=1, v=2$ и $b=3, a=4$.
Проверим условие $t > b$: $1 > 3$. Это неверно.
Следовательно, этот вариант невозможен.

Таким образом, существует только одно верное распределение мест.

Ответ:
1-е место: Би
2-е место: Аз
3-е место: Ти
4-е место: Ви
5-е место: Кир