Номер 8, страница 71, часть 1 - гдз по математике 2 класс учебное пособие - тетрадь Петерсон

Урок 36. Сети линий. Пути. Часть 1 - номер 8, страница 71.

Условие 2023.

8* Заполни пустые клетки так, чтобы квадраты стали магическими. В каком случае это невозможно сделать?

Первый квадрат:

Строка 1: 6, [ ], 16

Строка 2: [ ], 8, [ ]

Строка 3: [ ], [ ], 10

Второй квадрат:

Строка 1: [ ], [ ], 13

Строка 2: [ ], 14, [ ]

Строка 3: 15, 10, [ ]

Третий квадрат:

Строка 1: 20, [ ], [ ]

Строка 2: 15, 25, 30

Строка 3: [ ], [ ], [ ]

Решение 2 (2023).

Магический квадрат — это квадратная таблица, заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих главных диагоналях одинакова. Эта сумма называется магической константой.

Для магического квадрата 3x3 существует свойство: магическая константа в три раза больше числа, стоящего в центральной клетке.

Рассмотрим каждый квадрат по отдельности.

Первый квадрат (слева)

В центре квадрата стоит число 8. Используя свойство магического квадрата, найдем магическую константу $S$:

$S = 3 \times 8 = 24$

Проверим это по известной диагонали: $6 + 8 + 10 = 24$. Значение совпадает, значит, квадрат можно заполнить.

Теперь поочередно найдем все неизвестные числа, зная, что сумма в каждой строке, столбце и диагонали равна 24.

1. Верхняя строка: $6 + 16 + x = 24 \implies x = 24 - 22 = 2$.

2. Средний столбец: $16 + 8 + x = 24 \implies x = 24 - 24 = 0$.

3. Правый столбец: $2 + x + 10 = 24 \implies x = 24 - 12 = 12$.

4. Нижняя строка: $x + 0 + 10 = 24 \implies x = 24 - 10 = 14$.

5. Средняя строка: $x + 8 + 12 = 24 \implies x = 24 - 20 = 4$.

Проверим оставшиеся суммы: левый столбец ($6 + 4 + 14 = 24$) и вторая диагональ ($14 + 8 + 2 = 24$). Все верно.

Ответ:

6	16	2
4	8	12
14	0	10

Второй квадрат (в центре)

В центре квадрата стоит число 14. Найдем магическую константу $S$:

$S = 3 \times 14 = 42$

Проверим это по известной диагонали (справа налево): $13 + 14 + 15 = 42$. Значение совпадает, значит, квадрат можно заполнить.

Теперь поочередно найдем все неизвестные числа, зная, что сумма в каждой строке, столбце и диагонали равна 42.

1. Нижняя строка: $15 + 10 + x = 42 \implies x = 42 - 25 = 17$.

2. Средний столбец: $x + 14 + 10 = 42 \implies x = 42 - 24 = 18$.

3. Главная диагональ (слева направо): $x + 14 + 17 = 42 \implies x = 42 - 31 = 11$.

4. Правый столбец: $13 + x + 17 = 42 \implies x = 42 - 30 = 12$.

5. Средняя строка: $x + 14 + 12 = 42 \implies x = 42 - 26 = 16$.

Проверим оставшиеся суммы: верхняя строка ($11 + 18 + 13 = 42$) и левый столбец ($11 + 16 + 15 = 42$). Все верно.

Ответ:

11	18	13
16	14	12
15	10	17

Третий квадрат (справа)

В этом квадрате полностью заполнена средняя строка: 15, 25, 30.

Если бы это был магический квадрат, то его магическая константа $S$ должна была бы равняться сумме чисел в этой строке:

$S = 15 + 25 + 30 = 70$

С другой стороны, мы знаем свойство магического квадрата 3x3: магическая константа должна быть в три раза больше центрального числа. Центральное число здесь — 25.

Рассчитаем требуемую магическую константу по этому свойству:

$S = 3 \times 25 = 75$

Мы получили противоречие: сумма чисел в строке равна 70, а магическая константа, вычисленная через центральный элемент, должна быть 75. Поскольку $70 \neq 75$, условия для создания магического квадрата не выполняются.

Ответ: В этом случае невозможно заполнить клетки так, чтобы квадрат стал магическим.

Условие 2020-2022.

8* Заполни пустые клетки так, чтобы квадраты стали магическими. В каком случае это невозможно сделать?

6 16 8 10

13 14 15 10

20 15 25 30

Решение 2020-2022.