Номер 7, страница 62, часть 1 - гдз по математике 3 класс учебник Акпаева, Лебедева

7. Из восьми одинаковых по виду монет одна фальшивая, она легче остальных. Какое наименьшее количество взвешиваний надо сделать, чтобы её найти?

Составь вопросы и задания по теме урока.

7. Чтобы найти фальшивую монету, которая легче остальных, за наименьшее число взвешиваний на рычажных весах без гирь, нужно на каждом шаге делить монеты на три как можно более равные группы. Это позволяет максимально сузить количество «подозреваемых» монет с каждым взвешиванием.

Первое взвешивание.

Разделим 8 монет на три группы: две группы по 3 монеты и одна группа из 2 монет. Положим на левую чашу весов первую группу из 3 монет, а на правую — вторую группу из 3 монет. Две монеты оставим в стороне. Теперь возможны три исхода:

1. Весы в равновесии. Это значит, что все 6 монет на весах настоящие, а фальшивая — одна из двух, что мы отложили.

2. Левая чаша легче. Значит, фальшивая монета среди тех трех, что на левой чаше.

3. Правая чаша легче. В этом случае фальшивая монета находится в группе из трех монет на правой чаше.

В любом случае, после первого взвешивания мы сокращаем число «подозреваемых» монет до двух или трех.

Второе взвешивание.

Дальнейшие действия зависят от результата первого шага.

• Если после первого взвешивания у нас осталось две «подозреваемые» монеты: мы кладем одну из них на левую чашу, а на правую — любую заведомо настоящую монету (например, одну из тех, что были на уравновешенных весах). Если левая чаша окажется легче, то на ней и есть фальшивка. Если весы уравновесятся, то фальшивая — та монета из двух, что мы оставили в стороне.

• Если у нас осталось три «подозреваемые» монеты: мы кладем одну из них на левую чашу, вторую — на правую, а третью оставляем в стороне. Если левая чаша легче, фальшивка на ней. Если правая легче — фальшивка на правой. Если же весы в равновесии, то фальшивая монета — та, которую мы не взвешивали на этом шаге.

Таким образом, в любом из возможных сценариев двух взвешиваний достаточно, чтобы гарантированно найти более легкую монету. Одного взвешивания недостаточно, так как оно позволяет различить не более трех исходов, а нам нужно выделить одну монету из восьми. С точки зрения математики, необходимое количество взвешиваний $k$ для $N$ монет определяется из неравенства $3^k \ge N$. Для $N=8$ получаем, что при $k=1$ неравенство $3^1 \ge 8$ неверно, а при $k=2$ неравенство $3^2 \ge 8$ (то есть $9 \ge 8$) верно. Следовательно, минимальное количество взвешиваний равно 2.

Ответ: 2