Номер 10, страница 104, часть 1 - гдз по математике 3 класс учебник Дорофеев, Миракова

Часть 1. Умножение и деление. Умножение числа 5. Деление на 5 - номер 10, страница 104.

Условие.

10 Какие цифры скрыты на перевёрнутых карточках?

$\Box\Box + 1 = \Box\Box\Box$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Анализ условия задачи

В задаче говорится о «перевёрнутых карточках», что является ключом к решению. Это означает, что нужно использовать только те цифры, которые при переворачивании на 180° либо сохраняют своё значение, либо превращаются в другую допустимую цифру. Такими цифрами являются:

• 0 переворачивается в 0
• 1 переворачивается в 1
• 6 переворачивается в 9
• 8 переворачивается в 8
• 9 переворачивается в 6

Таким образом, все цифры в уравнении должны принадлежать множеству {0, 1, 6, 8, 9}.
Пусть исходное равенство выглядит как $N + 1 = M$, где $N$ и $M$ — трёхзначные числа. Условие «перевёрнутых карточек» означает, что если перевернуть все карточки с цифрами, равенство должно остаться верным. Если обозначить число, полученное переворачиванием цифр в числе $N$, как $N'$, то перевёрнутое равенство будет выглядеть как $N' + 1 = M'$.

Поиск решения

Пусть $N = \overline{ABC}$ и $M = \overline{DEF}$. Тогда $N' = \overline{A'B'C'}$ и $M' = \overline{D'E'F'}$. Мы имеем систему из двух уравнений:

1. $\overline{ABC} + 1 = \overline{DEF}$
2. $\overline{A'B'C'} + 1 = \overline{D'E'F'}$

Рассмотрим сложение в столбик, начиная с разряда единиц. Из первого уравнения следует, что сложение $C+1$ даёт число, оканчивающееся на $F$. Из второго — что $C'+1$ оканчивается на $F'$. Проверим все возможные пары переворачивающихся цифр для $C$ и $F$, предполагая, что при сложении единиц не возникает переноса в следующий разряд:

• Если $F=1$ (и $F'=1$), то $C$ должно быть 0 (и $C'=0$). Проверяем: $C+1=0+1=1=F$. Верно. Для перевёрнутых цифр: $C'+1=0+1=1=F'$. Тоже верно. Это подходящий вариант.
• Если $F=9$ (и $F'=6$), то $C$ должно быть 8 (и $C'=8$). Проверяем: $C+1=8+1=9=F$. Верно. Для перевёрнутых цифр: $C'+1=8+1=9$. Но $F'=6$. Равенство $9=6$ неверно. Этот вариант не подходит.

Другие варианты также не подходят. Если предположить наличие переноса из разряда единиц, решения также не найдётся. Следовательно, единственно возможный вариант для последних цифр чисел: $C=0$ и $F=1$.

Поскольку при сложении в разряде единиц перенос не возник, то для остальных разрядов получаем: $B=E$ и $A=D$. Это соотношение выполняется и для перевёрнутых цифр ($B'=E'$ и $A'=D'$), так что решение является последовательным.

Общий вид решения

Таким образом, исходное число имеет вид $\overline{AB0}$, а результат — $\overline{AB1}$. Равенство $\overline{AB0} + 1 = \overline{AB1}$ является тождеством для любых цифр A и B.
Согласно условию, A и B должны быть из набора переворачивающихся цифр {0, 1, 6, 8, 9}. Так как число трёхзначное, $A \neq 0$.

Следовательно, A может быть любой цифрой из {1, 6, 8, 9}, а B — любой цифрой из {0, 1, 6, 8, 9}. Это означает, что задача имеет множество решений (всего $4 \times 5 = 20$ решений).

Пример решения

Поскольку вопрос подразумевает нахождение скрытых цифр, приведём один из возможных примеров. Пусть $A=9$ и $B=8$.

Тогда исходное равенство: $980 + 1 = 981$.

Проверим его, перевернув все карточки:

• Цифра 9 превращается в 6.
• Цифра 8 превращается в 8.
• Цифра 0 превращается в 0.
• Цифра 1 превращается в 1.

Перевёрнутое равенство будет выглядеть так: $680 + 1 = 681$.

Оба равенства верны, значит, это один из правильных ответов.

Ответ: На карточках скрыто равенство $980 + 1 = 981$.