Номер 9, страница 30, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник Дорофеев, Миракова

9 Задумано трёхзначное число, у которого с любым из чисел 257, 659, 289 совпадает один из разрядов, а два других не совпадают. Какое число задумано?

Обозначим искомое трёхзначное число как $XYZ$, где $X$ – цифра в разряде сотен, $Y$ – в разряде десятков, и $Z$ – в разряде единиц.

По условию, число $XYZ$ должно иметь ровно одну общую цифру в том же разряде с каждым из чисел: 257, 659 и 289.

Рассмотрим возможные варианты для каждой цифры искомого числа.

1. Определим цифру в разряде сотен (X).

Цифры сотен в данных числах – это 2 и 6. Проверим каждую из них.

• Предположим, что $X = 2$.
  Тогда у числа $XYZ$ совпадает разряд сотен с числами 257 и 289. По условию, это должно быть единственное совпадение для каждого из этих чисел.
  • Для числа 257: разряд сотен совпадает ($X=2$), значит, другие разряды должны не совпадать: $Y \neq 5$ и $Z \neq 7$.
  • Для числа 289: разряд сотен совпадает ($X=2$), значит, другие разряды должны не совпадать: $Y \neq 8$ и $Z \neq 9$.

  Теперь сравним $XYZ$ (где $X=2$) с числом 659. Разряд сотен не совпадает ($2 \neq 6$), значит, для выполнения условия должен совпадать либо разряд десятков, либо разряд единиц. То есть, $Y=5$ или $Z=9$.
  Возникает противоречие: из сравнения с числами 257 и 289 мы получили, что $Y \neq 5$ и $Z \neq 9$, а из сравнения с 659 следует, что одно из этих равенств должно быть верным. Следовательно, наше предположение неверно, и $X \neq 2$.

• Предположим, что $X = 6$.
  Проверим это предположение.
  • Сравним с числом 659. Разряд сотен совпадает ($X=6$). Значит, это и есть единственное совпадение. Поэтому разряды десятков и единиц должны отличаться: $Y \neq 5$ и $Z \neq 9$.
  • Сравним с числом 257. Разряд сотен не совпадает ($6 \neq 2$). Значит, должен совпадать либо разряд десятков, либо разряд единиц. То есть $Y=5$ или $Z=7$. Так как мы уже установили, что $Y \neq 5$, остаётся единственный вариант: $Z=7$.
  • Сравним с числом 289. Разряд сотен не совпадает ($6 \neq 2$). Значит, должен совпадать либо разряд десятков, либо разряд единиц. То есть $Y=8$ или $Z=9$. Так как мы уже установили, что $Z \neq 9$, остаётся единственный вариант: $Y=8$.

Таким образом, мы однозначно определили все цифры искомого числа: $X=6, Y=8, Z=7$. Задуманное число – 687.

2. Проверка.

Проверим, удовлетворяет ли число 687 условиям задачи.

• Сравнение с 257: 687 и 257. Совпадает только одна цифра в разряде единиц (7). Два других разряда не совпадают. Условие выполнено.
• Сравнение с 659: 687 и 659. Совпадает только одна цифра в разряде сотен (6). Два других разряда не совпадают. Условие выполнено.
• Сравнение с 289: 687 и 289. Совпадает только одна цифра в разряде десятков (8). Два других разряда не совпадают. Условие выполнено.

Все условия задачи выполняются.

Ответ: 687.