Номер 10, страница 35, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник Дорофеев, Миракова

10 В зрительном зале маленького театра 100 мест. В день премьеры спектакля все билеты были проданы на общую сумму 1 000 р. Билет для мужчин стоил 50 р., для женщин — 20 р., а для детей — 1 р. Сколько мужчин, женщин и детей было на премьере спектакля?

Для решения задачи введем переменные:

• пусть $м$ — количество мужчин;
• пусть $ж$ — количество женщин;
• пусть $д$ — количество детей.

Составление системы уравнений

Исходя из условий задачи, можно составить два уравнения:

1. Уравнение по количеству зрителей. Всего в зале 100 мест, и все билеты были проданы:
$м + ж + д = 100$

2. Уравнение по общей сумме выручки. Общая сумма от продажи билетов составила 1000 рублей:
$50 \cdot м + 20 \cdot ж + 1 \cdot д = 1000$

Мы получили систему из двух уравнений с тремя неизвестными. Решать ее будем в целых неотрицательных числах, так как количество людей не может быть дробным или отрицательным.

Решение системы уравнений

Выразим переменную $д$ из первого уравнения:

$д = 100 - м - ж$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение, чтобы исключить переменную $д$:

$50м + 20ж + (100 - м - ж) = 1000$

Упростим полученное уравнение:

$50м - м + 20ж - ж + 100 = 1000$

$49м + 19ж = 1000 - 100$

$49м + 19ж = 900$

Теперь нам нужно найти целые неотрицательные решения для этого уравнения. Выразим $ж$ через $м$:

$19ж = 900 - 49м$

$ж = \frac{900 - 49м}{19}$

Так как $ж$ должно быть целым числом, выражение $(900 - 49м)$ должно делиться на 19 без остатка. Кроме того, поскольку $ж \ge 0$, то $900 - 49м \ge 0$, откуда $49м \le 900$, что означает $м \le \frac{900}{49} \approx 18.36$. Значит, $м$ может быть целым числом от 0 до 18.

Будем подставлять возможные значения $м$ в выражение $900 - 49м$ и проверять делимость на 19.

Можно заметить, что $900 = 19 \cdot 47 + 7$ и $49 = 19 \cdot 2 + 11$. Тогда условие делимости можно записать в виде сравнения по модулю 19:

$900 - 49м \equiv 0 \pmod{19}$

$7 - 11м \equiv 0 \pmod{19}$

$11м \equiv 7 \pmod{19}$

Перебором значений $м$ от 0 до 18 находим, что это равенство выполняется только при $м = 11$.

Проверим: $11 \cdot 11 = 121$. $121 = 19 \cdot 6 + 7$. Сравнение $7 \equiv 7 \pmod{19}$ верно.

Итак, единственное подходящее значение для количества мужчин — это $м = 11$.

Теперь найдем количество женщин $ж$:

$ж = \frac{900 - 49 \cdot 11}{19} = \frac{900 - 539}{19} = \frac{361}{19} = 19$

Мы нашли, что $ж = 19$.

Осталось найти количество детей $д$:

$д = 100 - м - ж = 100 - 11 - 19 = 100 - 30 = 70$

Таким образом, на премьере было 11 мужчин, 19 женщин и 70 детей.

Проверка

Проверим, соответствуют ли найденные значения условиям задачи:

1. Общее количество зрителей: $11 + 19 + 70 = 100$ человек. Верно.

2. Общая сумма выручки: $50 \cdot 11 + 20 \cdot 19 + 1 \cdot 70 = 550 + 380 + 70 = 1000$ рублей. Верно.

Ответ: на премьере спектакля было 11 мужчин, 19 женщин и 70 детей.