Страница 35, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

5 На первом станке изготавливают 5 деталей в минуту, а на втором за это же время — на 2 детали меньше. Сколько всего деталей будет изготовлено за 2 ч работы на этих двух станках?

Реши задачу двумя способами.

Первый способ

1. Сначала найдем, сколько деталей в минуту изготавливает второй станок. По условию, он изготавливает на 2 детали меньше, чем первый:
$5 - 2 = 3$ (детали в минуту) – производительность второго станка.

2. Затем переведем время работы станков из часов в минуты, так как производительность дана в деталях за минуту. В одном часе 60 минут, поэтому:
$2 \times 60 = 120$ (минут) – общее время работы.

3. Теперь рассчитаем, сколько деталей изготовит каждый станок за 120 минут работы:
$5 \times 120 = 600$ (деталей) – изготовит первый станок.
$3 \times 120 = 360$ (деталей) – изготовит второй станок.

4. Наконец, сложим количество деталей, изготовленных на двух станках, чтобы найти общее количество:
$600 + 360 = 960$ (деталей).

Ответ: 960 деталей.

Второй способ

1. Узнаем производительность второго станка:
$5 - 2 = 3$ (детали в минуту).

2. Найдем общую (совместную) производительность двух станков, то есть сколько деталей они изготавливают вместе за одну минуту:
$5 + 3 = 8$ (деталей в минуту).

3. Переведем общее время работы в минуты:
$2 \text{ ч} = 2 \times 60 = 120$ (минут).

4. Умножим общую производительность на общее время работы, чтобы найти, сколько всего деталей будет изготовлено на двух станках:
$8 \times 120 = 960$ (деталей).

Ответ: 960 деталей.

6 Начерти в тетради отрезок SL и отметь точку K, как показано на рисунке. Восстанови прямоугольник SKLM по его диагонали SL и вершине K.

Для восстановления прямоугольника SKLM по его диагонали SL и вершине K, необходимо найти координаты четвертой вершины M. Воспользуемся свойствами прямоугольника.

1. Определение координат заданных точек.

Введем систему координат, где начало (0,0) находится в левом нижнем углу сетки, а цена одного деления (сторона клетки) равна 1. Тогда, судя по рисунку, вершины имеют следующие координаты:

• S (1, 1)
• K (2, 5)
• L (10, 6)

2. Использование свойств диагоналей прямоугольника.

Прямоугольник SKLM назван так, что его вершины перечисляются последовательно при обходе по периметру: S, K, L, M. В этом случае диагоналями являются отрезки SL и KM.

У любого прямоугольника (как и у любого параллелограмма) диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Найдем середину диагонали SL, обозначим ее точкой O. Эта точка также будет являться серединой диагонали KM.

3. Нахождение координат середины диагонали SL.

Координаты середины отрезка находятся как полусумма соответствующих координат его концов. Для точки O, середины SL, имеем:

$O_x = \frac{S_x + L_x}{2} = \frac{1 + 10}{2} = \frac{11}{2} = 5.5$

$O_y = \frac{S_y + L_y}{2} = \frac{1 + 6}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$

Таким образом, центр прямоугольника O имеет координаты (5.5, 3.5).

4. Нахождение координат четвертой вершины M.

Так как точка O является также серединой диагонали KM, мы можем найти координаты вершины M, зная координаты вершин K и O:

$O_x = \frac{K_x + M_x}{2} \implies M_x = 2 \cdot O_x - K_x$

$O_y = \frac{K_y + M_y}{2} \implies M_y = 2 \cdot O_y - K_y$

Подставим известные значения координат K(2, 5) и O(5.5, 3.5):

$M_x = 2 \cdot 5.5 - 2 = 11 - 2 = 9$

$M_y = 2 \cdot 3.5 - 5 = 7 - 5 = 2$

Следовательно, четвертая вершина M имеет координаты (9, 2).

5. Построение прямоугольника.

Теперь мы имеем координаты всех четырех вершин:

• S (1, 1)
• K (2, 5)
• L (10, 6)
• M (9, 2)

Соединив эти точки последовательно (S-K-L-M-S), мы восстановим искомый четырехугольник.
Примечание: Из-за неточности в исходном рисунке, где угол $\angle SKL$ не является прямым, построенная фигура будет параллелограммом. Приведенное решение является стандартным методом восстановления четырехугольника по трем вершинам и типу, предполагая, что текстовое описание свойств (прямоугольник, диагональ) имеет приоритет над точным расположением точек на схематическом рисунке.

Ответ: Четвертая вершина прямоугольника M имеет координаты (9, 2).

7 Вычисли значения выражений.

$(456 - 275 + 167) : 6$

$(116 + 154) : (408 - 399) \cdot 2$

$755 - (56 \cdot 4 + 8) \cdot 3$

$306 : 9 \cdot 7 - (124 - 65) \cdot 3$

Сравни полученные результаты. Что можно заметить?

(456 - 275 + 167) : 6
Для решения этого выражения сначала выполним действия в скобках, а затем деление.
1) Вычитание в скобках: $456 - 275 = 181$
2) Сложение в скобках: $181 + 167 = 348$
3) Деление: $348 : 6 = 58$
Ответ: 58

(116 + 154) : (408 - 399) · 2
Сначала выполняем действия в каждой паре скобок, а затем деление и умножение в порядке их следования.
1) Сложение в первой скобке: $116 + 154 = 270$
2) Вычитание во второй скобке: $408 - 399 = 9$
3) Деление: $270 : 9 = 30$
4) Умножение: $30 \cdot 2 = 60$
Ответ: 60

755 - (56 · 4 + 8) · 3
Сначала выполняем действия в скобках (умножение, затем сложение), после этого — умножение за скобками, и в последнюю очередь — вычитание.
1) Умножение в скобках: $56 \cdot 4 = 224$
2) Сложение в скобках: $224 + 8 = 232$
3) Умножение за скобками: $232 \cdot 3 = 696$
4) Вычитание: $755 - 696 = 59$
Ответ: 59

306 : 9 · 7 - (124 - 65) · 3
Согласно порядку действий, сначала выполняем вычитание в скобках. Затем деление и умножения слева направо. В конце выполняем вычитание.
1) Вычитание в скобках: $124 - 65 = 59$
2) Деление: $306 : 9 = 34$
3) Умножение: $34 \cdot 7 = 238$
4) Умножение: $59 \cdot 3 = 177$
5) Вычитание: $238 - 177 = 61$
Ответ: 61

Сравни полученные результаты. Что можно заметить?
Мы получили следующие значения выражений: 58, 60, 59, 61.
Если расположить их в порядке возрастания, получится ряд: 58, 59, 60, 61.
Можно заметить, что результаты являются четырьмя последовательными натуральными числами.

8 Для покраски четырёх стен было израсходовано 3 одинаковых бидона краски. На первую стену ушло 11 кг краски, на вторую — на 3 кг больше, чем на первую, на третью — на 5 кг больше, чем на вторую, а на четвёртую — на 3 кг меньше, чем на третью. Сколько килограммов краски было в каждом бидоне?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько последовательных действий, чтобы найти общее количество израсходованной краски, а затем разделить его на количество бидонов.

1. Узнаем, сколько краски ушло на вторую стену.

На первую стену было израсходовано 11 кг краски, а на вторую — на 3 кг больше. Следовательно:

$11 + 3 = 14$ (кг) — краски ушло на покраску второй стены.

2. Узнаем, сколько краски ушло на третью стену.

На третью стену ушло на 5 кг больше, чем на вторую. Мы уже знаем, что на вторую стену ушло 14 кг. Значит:

$14 + 5 = 19$ (кг) — краски ушло на покраску третьей стены.

3. Узнаем, сколько краски ушло на четвёртую стену.

На четвёртую стену ушло на 3 кг меньше, чем на третью, на которую было потрачено 19 кг. Следовательно:

$19 - 3 = 16$ (кг) — краски ушло на покраску четвёртой стены.

4. Вычислим общее количество израсходованной краски.

Для этого сложим количество краски, потраченной на все четыре стены:

$11 + 14 + 19 + 16 = 60$ (кг) — всего было израсходовано краски.

5. Вычислим, сколько килограммов краски было в каждом бидоне.

Общее количество краски (60 кг) было в 3 одинаковых бидонах. Чтобы найти массу краски в одном бидоне, разделим общее количество на число бидонов:

$60 \div 3 = 20$ (кг).

Ответ: в каждом бидоне было 20 кг краски.

9 Миша пришёл в магазин и в первом отделе купил машинку, отдав за неё половину всех своих денег. Во втором отделе он купил куклу для своей сестры и отдал за неё половину оставшихся у него денег и ещё 17 р. Затем в третьем отделе Миша купил мороженое и шоколадку, за которые заплатил половину оставшихся у него после покупки куклы денег и ещё 10 р. Сколько денег было у Миши, если после покупок у него осталось 19 р.?

Выполни схематический чертёж. С его помощью будет легче решить задачу.

Эту задачу удобнее всего решать "с конца", выполняя действия в обратном порядке.

Схематический чертёж (обратный ход)

Чтобы найти сумму до покупки, нужно к остатку прибавить "добавку" и результат умножить на 2.

1. Осталось денег: 19 р.
2. Деньги до покупки мороженого и шоколадки: (19 р. + 10 р.) × 2 = ?
3. Деньги до покупки куклы: (? + 17 р.) × 2 = ??
4. Деньги в самом начале: ?? × 2 = ???

Решение по действиям

1. Сначала найдём, сколько денег было у Миши до того, как он купил мороженое и шоколадку. Известно, что он заплатил половину оставшихся денег и ещё 10 р., и у него осталось 19 р. Это значит, что 19 р. и 10 р. вместе составляют вторую половину денег, которая была у него перед этой покупкой.

$(19 + 10) \times 2 = 29 \times 2 = 58$ (р.) – было у Миши до покупки мороженого и шоколадки (т.е. после покупки куклы).

2. Теперь найдём, сколько денег было у него до покупки куклы. Он отдал за неё половину оставшихся денег и ещё 17 р., после чего у него осталось 58 р. Значит, 58 р. и 17 р. вместе составляют вторую половину денег, которая была у него перед второй покупкой.

$(58 + 17) \times 2 = 75 \times 2 = 150$ (р.) – было у Миши до покупки куклы (т.е. после покупки машинки).

3. В самом начале Миша купил машинку, отдав за неё половину всех своих денег. После этого у него осталось 150 р. Следовательно, 150 р. – это вторая половина его начальной суммы.

$150 \times 2 = 300$ (р.) – было у Миши первоначально.

Проверим решение прямым счётом:

• Изначально было 300 р.
• Потратил на машинку половину: $300 / 2 = 150$ р. Осталось $300 - 150 = 150$ р.
• Потратил на куклу половину остатка и ещё 17 р.: $(150 / 2) + 17 = 75 + 17 = 92$ р. Осталось $150 - 92 = 58$ р.
• Потратил на мороженое и шоколадку половину остатка и ещё 10 р.: $(58 / 2) + 10 = 29 + 10 = 39$ р. Осталось $58 - 39 = 19$ р.

Всё сходится с условием задачи.

Ответ: первоначально у Миши было 300 рублей.

7 Составь задачу по таблице.

Скорость

Время

Расстояние

Легковой Автомобиль

60 км/ч

?

?

Грузовой Автомобиль

40 км/ч

3 ч

?

Одинаковые

Условие задачи:

Грузовой автомобиль ехал 3 часа со скоростью 40 км/ч. Легковой автомобиль проехал такое же расстояние со скоростью 60 км/ч. Сколько времени был в пути легковой автомобиль?

Решение:

1. Сначала найдем расстояние, которое проехал грузовой автомобиль. Для этого используем формулу расстояния: $S = v \cdot t$, где $S$ – расстояние, $v$ – скорость, $t$ – время.

$S_{грузового} = 40 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 120 \text{ км}$

2. По условию задачи, легковой автомобиль проехал такое же расстояние, что и грузовой. Значит, расстояние, которое проехал легковой автомобиль, также равно 120 км.

$S_{легкового} = S_{грузового} = 120 \text{ км}$

3. Теперь найдем время, которое был в пути легковой автомобиль. Для этого используем формулу времени: $t = S / v$.

$t_{легкового} = 120 \text{ км} / 60 \text{ км/ч} = 2 \text{ ч}$

Ответ: легковой автомобиль был в пути 2 часа.

8 Сравни.

$9090 : 10$ $99

$(1553 + 3447) : 1000$ $50

$600 \cdot 40$ $2400

$(2639 + 23 \cdot 7) : 100$ $28

9 090 : 10 ◯ 99
Чтобы сравнить выражения, сначала вычислим значение левой части.
$9\ 090 : 10 = 909$.
Теперь сравним полученный результат с числом в правой части: $909$ и $99$.
Так как $909 > 99$, ставим знак «больше».
Ответ: $9\ 090 : 10 > 99$

600 ⋅ 40 ◯ 2 400
Вычислим значение левой части выражения.
$600 \cdot 40 = 24\ 000$.
Сравним результат с правой частью: $24\ 000$ и $2\ 400$.
Поскольку $24\ 000 > 2\ 400$, ставим знак «больше».
Ответ: $600 \cdot 40 > 2\ 400$

(1 553 + 3 447) : 1 000 ◯ 50
Выполним вычисления в левой части по порядку действий. Сначала сложение в скобках:
$1\ 553 + 3\ 447 = 5\ 000$.
Затем выполним деление:
$5\ 000 : 1\ 000 = 5$.
Сравним полученный результат с правой частью: $5$ и $50$.
Так как $5 < 50$, ставим знак «меньше».
Ответ: $(1\ 553 + 3\ 447) : 1\ 000 < 50$

(2 639 + 23 ⋅ 7) : 100 ◯ 28
Вычислим значение левой части, соблюдая порядок действий. Сначала умножение в скобках:
$23 \cdot 7 = 161$.
Затем сложение в скобках:
$2\ 639 + 161 = 2\ 800$.
И, наконец, деление:
$2\ 800 : 100 = 28$.
Сравним результат с правой частью: $28$ и $28$.
Значения равны, поэтому ставим знак «равно».
Ответ: $(2\ 639 + 23 \cdot 7) : 100 = 28$

На диаграмме показана высота горных вершин: Джомолунгмы, Аконкагуа, Мак-Кинли, Килиманджаро, Эльбруса.

Д: 8848

А: 6960

М: 6194

К: 5895

Э: 5642

С помощью этой диаграммы ответь на вопросы:

1) Как называется самая высокая из этих горных вершин? Чему равна её высота? На сколько метров она выше каждой из остальных горных вершин?

Самая высокая из этих горных вершин — Джомолунгмы, её высота 8848 метров.

Джомолунгмы выше Аконкагуа на $8848 - 6960$ метров.

Джомолунгмы выше Мак-Кинли на $8848 - 6194$ метров.

Джомолунгмы выше Килиманджаро на $8848 - 5895$ метров.

Джомолунгмы выше Эльбруса на $8848 - 5642$ метров.

2) На сколько метров Килиманджаро выше Эльбруса?

Килиманджаро выше Эльбруса на $5895 - 5642$ метров.

3) На сколько метров Мак-Кинли ниже Аконкагуа?

Мак-Кинли ниже Аконкагуа на $6960 - 6194$ метров.

1) Для ответа на этот вопрос проанализируем данные, представленные на диаграмме. Сопоставим буквы на горизонтальной оси с названиями гор: Д - Джомолунгма (8 848 м), А - Аконкагуа (6 960 м), М - Мак-Кинли (6 194 м), К - Килиманджаро (5 895 м), Э - Эльбрус (5 642 м).
Самый высокий столбик на диаграмме соответствует горе Джомолунгма. Её высота составляет 8 848 метров.
Чтобы найти, на сколько метров Джомолунгма выше каждой из остальных вершин, вычтем из её высоты высоту каждой другой горы:
Разница с Аконкагуа: $8848 - 6960 = 1888$ м.
Разница с Мак-Кинли: $8848 - 6194 = 2654$ м.
Разница с Килиманджаро: $8848 - 5895 = 2953$ м.
Разница с Эльбрусом: $8848 - 5642 = 3206$ м.
Ответ: Самая высокая вершина – Джомолунгма, её высота 8 848 м. Она выше Аконкагуа на 1888 м, Мак-Кинли на 2654 м, Килиманджаро на 2953 м и Эльбруса на 3206 м.

2) Чтобы определить, на сколько метров Килиманджаро выше Эльбруса, найдем их высоты на диаграмме и вычислим разницу.
Высота Килиманджаро (К) составляет 5 895 м.
Высота Эльбруса (Э) составляет 5 642 м.
Разница высот: $5895 - 5642 = 253$ м.
Ответ: Килиманджаро выше Эльбруса на 253 метра.

3) Чтобы узнать, на сколько метров Мак-Кинли ниже Аконкагуа, нужно найти разницу их высот.
Высота Аконкагуа (А) составляет 6 960 м.
Высота Мак-Кинли (М) составляет 6 194 м.
Разница высот: $6960 - 6194 = 766$ м.
Ответ: Мак-Кинли ниже Аконкагуа на 766 метров.

10 В зрительном зале маленького театра 100 мест. В день премьеры спектакля все билеты были проданы на общую сумму 1 000 р. Билет для мужчин стоил 50 р., для женщин — 20 р., а для детей — 1 р. Сколько мужчин, женщин и детей было на премьере спектакля?

Для решения задачи введем переменные:

• пусть $м$ — количество мужчин;
• пусть $ж$ — количество женщин;
• пусть $д$ — количество детей.

Составление системы уравнений

Исходя из условий задачи, можно составить два уравнения:

1. Уравнение по количеству зрителей. Всего в зале 100 мест, и все билеты были проданы:
$м + ж + д = 100$

2. Уравнение по общей сумме выручки. Общая сумма от продажи билетов составила 1000 рублей:
$50 \cdot м + 20 \cdot ж + 1 \cdot д = 1000$

Мы получили систему из двух уравнений с тремя неизвестными. Решать ее будем в целых неотрицательных числах, так как количество людей не может быть дробным или отрицательным.

Решение системы уравнений

Выразим переменную $д$ из первого уравнения:

$д = 100 - м - ж$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение, чтобы исключить переменную $д$:

$50м + 20ж + (100 - м - ж) = 1000$

Упростим полученное уравнение:

$50м - м + 20ж - ж + 100 = 1000$

$49м + 19ж = 1000 - 100$

$49м + 19ж = 900$

Теперь нам нужно найти целые неотрицательные решения для этого уравнения. Выразим $ж$ через $м$:

$19ж = 900 - 49м$

$ж = \frac{900 - 49м}{19}$

Так как $ж$ должно быть целым числом, выражение $(900 - 49м)$ должно делиться на 19 без остатка. Кроме того, поскольку $ж \ge 0$, то $900 - 49м \ge 0$, откуда $49м \le 900$, что означает $м \le \frac{900}{49} \approx 18.36$. Значит, $м$ может быть целым числом от 0 до 18.

Будем подставлять возможные значения $м$ в выражение $900 - 49м$ и проверять делимость на 19.

Можно заметить, что $900 = 19 \cdot 47 + 7$ и $49 = 19 \cdot 2 + 11$. Тогда условие делимости можно записать в виде сравнения по модулю 19:

$900 - 49м \equiv 0 \pmod{19}$

$7 - 11м \equiv 0 \pmod{19}$

$11м \equiv 7 \pmod{19}$

Перебором значений $м$ от 0 до 18 находим, что это равенство выполняется только при $м = 11$.

Проверим: $11 \cdot 11 = 121$. $121 = 19 \cdot 6 + 7$. Сравнение $7 \equiv 7 \pmod{19}$ верно.

Итак, единственное подходящее значение для количества мужчин — это $м = 11$.

Теперь найдем количество женщин $ж$:

$ж = \frac{900 - 49 \cdot 11}{19} = \frac{900 - 539}{19} = \frac{361}{19} = 19$

Мы нашли, что $ж = 19$.

Осталось найти количество детей $д$:

$д = 100 - м - ж = 100 - 11 - 19 = 100 - 30 = 70$

Таким образом, на премьере было 11 мужчин, 19 женщин и 70 детей.

Проверка

Проверим, соответствуют ли найденные значения условиям задачи:

1. Общее количество зрителей: $11 + 19 + 70 = 100$ человек. Верно.

2. Общая сумма выручки: $50 \cdot 11 + 20 \cdot 19 + 1 \cdot 70 = 550 + 380 + 70 = 1000$ рублей. Верно.

Ответ: на премьере спектакля было 11 мужчин, 19 женщин и 70 детей.